概率论5.1-5.3讲解.ppt

第五章　一维随机变量 第一节 一维随机变量及其分布函数 每一随机试验, 试验结果的集合多种多样, 人们习惯将试验结果用实数来表示, 实数的取值随着试验结果的不同而变化，因而它是样本点的函数, 这个函数就是我们要引入的随机变量. 设随机试验的基本空间为U,定义在基本空间上的实值单值函数称为随机变量，随机变量是样本点的函数. 例1 设一口袋中有依次标有-1,2,2,2,3,3数字的六个球. 从这口袋中任取一个球, 取得的球上标有的数字x，随着试验结果的不同而变化. 当试验结果确定后, 随机变量x的取值也就相应确定. 例2 从一批电灯泡中任取一个. 取得的电灯泡在指定条件下的耐用时间h是随着试验结果的不同而变化的. 当试验结果确定后,随机变量h的值也就相应地确定. 例3 从一批次品率为p的产品中逐件地抽取产品, 每次抽取经检定后立即放回这批产品中再抽下一件, 直到抽得次品为止. 这样所需的抽取次数z 是随着试验结果的不同而变化的. 当试验结果确定后,随机变量z 的值也就相应地确定. 例4 考察掷五分硬币试验, 它有两个可能结果:出现国徽朝上或出现伍分字样朝上. 为了便于研究起见, 将每一个结果用一个实数来代表. 例如, 可用1代表出现国徽朝上, 用数0代表出现伍分字样朝上. 这样, 当讨论试验结果时, 就可以简单地说成结果是数1或数0.建立这种数量化的关系, 实际上相当于引入了一个随机变量m, 对于试验的两个结果, m值分别规定为1和0. 当试验确定后,随机变量m的值也就相应地确定. 例5 用步枪对准靶子上的一个点目标进行射击. 考虑击中的点与点目标的距离d.可以在包含靶子的平面内建立以点目标为原点的直角坐标系. 这样, 试验结果可以用击中的点的坐标x, y来表示, d根据试验结果取值,随机变量d的值为： 例1—例5中遇到的x,h,z,m,d都是随机变量. 以后用小写希腊字母或大写英文字母表示随机变量. 设x是一个随机变量. 对于实轴上任意一个集S, {x?S}代表了一个随机事件, 意即基本空间U内所有能使x(e)?S的e所组成的集代表一个随机事件. S确定后, P{x?S}随之唯一地确定. 由这个对应关系定出, 以实轴上的集S为自变量, 函数值在区间[0,1]上的函数P{x?S}, 称为随机变量x的分布. 它表明了x的取值规律. 例如, 例1中的随机变量x的分布可如下得出:由于取得这六个球中的任一个的概率都为1/6, 所以 例如, 当S=[-1,2.5)时, S中含-1,2,3中的-1,2, 所以 这种S给定后P{x?S}随之确定的规律就是x的取值规律, 即x的分布.通常用下面规定的分布函数来表达分布.设x为一个随机变量. 令 F(x)=P{xx}, (-?x?).这样规定的函数F(x)的定义域为整个数轴, 函数值在区间[0,1]上. 称这个函数为x的分布的分布函数, 简称为x的分布函数. 例6 求例1中的随机变量x的分布函数.解 x可能取的值为-1,2,3. 取这些值的概率依次为1/6,1/2,1/3.当x?-1时, {xx}是不可能事件, 所以F(x)=0.当-1x?2时, {xx}包含{x=-1},所以 总括起来, F(x)的表达式为 例7 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间[0,1)上的诸值. 旋转这陀螺, 求它停下时其圆周上触及桌面的点的刻度x的分布函数. 解 按陀螺的均匀性及刻度的均匀性, 对于区间[0,1)内的任一个区间[a,b), 有 当x?0时, (??,x)?[0,1)为空集, 所以 F(x)=P{xx}=0.当0x?1时, (??,x)?[0,1)=[0,x), 所以 F(x)=P{xx}=x.当1x时, (??,x)?[0,1)=[0,1), 所以 F(x)=P{xx}=1.即所求分布函数为 分布函数的图形为 按分布函数的定义可知P{a?xb}=P{xb}-P{xa}=F(b)-F(a),即事件{x?[a,b)}的概率等于分布函数在该区间上的增量.分布函数具有以下性质:(1) 0?F(x)?1, (-?x+?).(2) F(x1)?F(x2), (x1x2)即任一分布函数都是单调非减的. 第二节 离散型随机变量 从例1及例3可以看到,有一类随机变量,它所有可能取的值是有限个或可数多个数值,这样的随机变量称为离散型随机变量, 它的分布称为离散型分布. 除了可用随机变量的分布及分布函数表明随机变量的取值规律外, 通常还可用下面规定的分布密度来表达离散型随机变量的取值规律. 设x为一个离散型随机变量, 它所有可能取的值为a1,a2,..., 事件{x=ai}的概率为pi,(i=1,2,...), 那末, 可以用下列表格来表达x取值的规律: 例8 求出例3中的随机