概率论-第3章 多维随机变量及其分布5讲解.pptx

概率论与数理分析第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量 §2 边缘分布 §3 条件分布 §4 相互独立的随机变量 §5 两个随机变量的函数的分布 一、问题的引入 §5 两个随机变量的函数的分布 引例1 §5 两个随机变量的函数的分布 在下列系统中，每个元件的寿命分别为随机变量 X,Y ，它们相互独立同分布。我们想知道系统寿命 Z 的分布。 引例2 为了解决类似的问题，我们讨论随机变量函数的分布。 解题思路（步骤）： 在一般情形下，已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g (X,Y)的概率密度。 §5 两个随机变量的函数的分布 例 1 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为 求随机变量 Z=X+Y 的分布律. §5 两个随机变量的函数的分布 二、Z=X+Y的（和的）分布 1 离散型随机变量和的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 解 等价于 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 结论 §5 两个随机变量的函数的分布 例 4 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 结论： §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 2 连续型随机变量和的分布 由此可得概率密度函数为 由于 X 与 Y 对称, §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 例 5 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 例 6 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 解 例7 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度. §5 两个随机变量的函数的分布 得 §5 两个随机变量的函数的分布 说明 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布. §5 两个随机变量的函数的分布 例8 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 此时 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 例9 §5 两个随机变量的函数的分布 证明 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 三、Z=X/Y的（商的）分布 §5 两个随机变量的函数的分布 当 X, Y 独立时, 由此可得分布密度为 §5 两个随机变量的函数的分布 例10 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 例 11 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 例12 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 分布律,且 X 的分布律为 §5 两个随机变量的函数的分布 四、极值分布 1 离散型随机变量的极值分布 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 例 13 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 2 连续型随机变量的极值分布 故有 §5 两个随机变量的函数的分布 推广 §5 两个随机变量的函数的分布 例14 §5 两个随机变量的函数的分布 解 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 五、小结 1. 离散型随机变量函数的分布律 §5 两个随机变量的函数的分布 2. 连续型随机变量函数的分布 §5 两个随机变量的函数的分布 补充结论： §5 两个随机变量的函数的分布