概率论与数理统计_第三章KY讲解.pptx

第三章 多维随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 内容提要 §1 二维随机变量 §2 边缘分布 §3 条件分布 §4 相互独立的随机变量 §5 两个随机变量的函数的分布 关键词 联合分布律 联合概率密度 联合分布函数 边缘分布 条件分布 §1 二维随机变量 §1 二维随机变量 二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量 小结 一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 . 第三章是第二章内容的推广. 到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对r .v (两个坐标)（X，Y）来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个r .v (三个坐标)（X，Y，Z）来确定的等等. 量. 以下重点讨论二维随机变量. 请注意与一维情形的对照 . 二元 函数 定义1 一、二维随机变量的分布函数 分布函数的函数值的几何解释 或随机变量X和Y 的联合分布律. X 的分布律 定义2 的值是有限对或可列无限多对, 设二维离散型随机变量 记 如果二维随机变量 二、二维离散型随机变量 二维离散型随机变量 的分布律具有性质 也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律. ? 解： ? ? 1 2 3 4 1 2 3 4 ? ? ? ? 0 0 0 0 0 ? ? ? 0 ? ? ? 例1　把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 . 解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3) P{X=0, Y=3} P{X=1, Y=1} P{X=2, Y=1} P{X=3, Y=0} =3/8 =3/8 X的概率密度函数 定义3 三、二维连续型随机变量 （X,Y）的概率密度的性质 例2 设(X,Y)的概率密度是 (1) 求分布函数 (2) 求概率 . 积分区域 解 (1) 故 (2) 四、小结 在这一节中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的分布函数 ,离散型随机变量的分布律以及连续型随机变量的概率密度函数. §2 边缘分布 §1 边缘分布 边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律 连续型随机变量的边缘概率密度 小结 二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢? 这一节里,我们就来探求这个问题 . 二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 一、边缘分布函数 一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， 则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为 二、离散型随机变量的边缘分布律 (X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为 例1　把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 . 解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3) P{X=0, Y=3} P{X=1, Y=1} P{X=2, Y=1} P{X=3, Y=0} =3/8 =3/8 P{X=0}= P{X=1}= P{X=2}= P{X=3}= P{Y=1}= P{Y=3}= =1/8, P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3} =3/8, P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3} =3/8, P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3} P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3} =1/8. =3/8+3/8=6/8, =1/8+1/8=2/8. 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词. 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布. 对连续型 r.v ( X,Y ) ， X 和Y 的联合概率密度为 则 ( X,Y ) 关于 X 的边缘概率密度为 事实上 , 三、连续型随机变量的边缘概率密度 ( X,Y )关于Y 的边缘概率密度为 例2 设(X,Y)的概率密度是 求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。