一元二次方程与一元二次函数剖析.docx

3．方程的解的个数为 （ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答】C.当时，方程为，即，解得，，均满足．当时，方程为，即，解得，满足．2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共8页）综上，原方程有3个解．5．关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（ ）．（A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组【答】C．解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为．由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．由 ≥，解得 ≤．于是01491611610988534显然，只有时，是完全平方数，符合要求．当时，原方程为，此时；当y＝－4时，原方程为，此时．所以，原方程的整数解为、设为整数，并且一元二次方程有等根，而一元二次方程有等根；那么，以为根的整系数一元二次方程是（ ）．、； 、； 、； 、．答案：．解：由两个方程的判别式皆为，有，以及，即：以及，消去得，，其整根为，于是；因此两个方程分别是：及，前一方程的等根为，后一方程的等根为，易得，以为根的整系数一元二次方程是．1．已知实数满足 ，则的值为（ ）．（A）7 （B） （C） （D）5【答】（A）解：因为，≥0，由已知条件得， ，所以 7．另解：由已知得：，显然，以为根的一元二次方程为，所以　故＝3．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且.设满足上述要求的的最大值和最小值分别为，，则解 根据题意，是一元二次方程的两根，所以，. ∵，∴，.∵方程的判别式，∴.，故，等号当且仅当时取得；，故，等号当且仅当时取得.所以，，于是.3、如果函数y=b的图像与函数y=x2－3|x－1|－4x－3的图像恰有三个交点,则b的可能值是.－6、－25/4.令y=x2－3|x－1|－4x－3.则y=x2－x－6=,x≤1;y=x2－7x=,x1.当x=1时,y=－6;当x=12时,y=－25/4.由图像知,所求b的可能值是－6、－25/4.4、已知a为整数,关于x的方程+2－a=0有实数根.则a的可能值是.0、1、2.令y=.则0≤y1.由y2－4y+2－a=0 (y－2)2=2+a 12+a≤4 －1a≤2.因此,a的可能值是0、1、2.3、代数式的最小值为______________。.3.令y=113－110x,则y2+220xy=3×223x2+3×1132,3×223x2－220yx+3×1132－y2=0.故Δ=(220y)2－4×3×223(3×1132－y2)=4×1132(y2－32×223)≥0.所以,y≥3 .当且仅当x=110/时,y取最小值3 16、（本题25分）整数a使得关于x，y的方程组对于每一个实数b总有实数解，求整数a的值．把方程（1）代入方程（2）得关于y的方程 则根据题意得△，即，则，即，所以－1≤a≤2，则整数a的值为－1，0，1，2．9．已知y=，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是． 9．答案：解：因为1≤m≤3，所以当x≥0时，≤，由y=＜0，得0≤x＜； 当x＜0时，≤，由y=＜0，得 -3＜x＜0.11．（20分）试求所有的整数a，使得关于x的一元二次方程 x2-x-（a2-4a+9）=0 ① 的两根皆为整数．11．设方程的两根为x1，x2，则=x1+x2=整数，即①为整系数一元二次方程，其根为整数，则其判别式△必为完全平方数． 设（5a2-26a-8）+4（a2-4a+9）=b2，b∈N，即（3a-7）2-b2=21． 故得（3a-7-b）（3a-7+b）=21． 因21=3·7=1·21=（-7）·（-3）=（-21）·（-1），②③④⑤ 分别解得，a=4，6，，-．因为a为整数，且当a=4时，无意义，故只有a=6，此时方程①成为x2-4x-21=0，它有两个整根：7和-3，因此本题所求的整数a=6．2．二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则．【答】 2．由已知，得，，，．过D作于点E，，则，即，得，所以或．又，所以．又，即，得．11．已知抛物线与动直线有公共点，，且.（1）求实数t的取值范围； （2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.解：（1）联立与，消去y得二次方程 ①有实数根，，则．所以