工业机器人工业机器人课件第二章 数学基础.pptVIP

机器人可以用一个开环关节链来建模 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以操纵物体 人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐标系的空间几何描述，也就是机器人的运动学问题 机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系 第二章 数学基础—齐次坐标和齐次变换 刚体参考点的位置和刚体的姿态统称为刚体的位姿，其描述方法较多，如齐次变换法、矢量法、旋量法等等。本章采用齐次变换法，其优点在于它将运动、变换和映射与矩阵运算联系起来。 § 2.1 刚体位姿描述 为了描述机器人本身的各个连杆之间、机器人和环境（操作对象和障碍物）之间的运动关系，通常将它们都看成刚体，研究各刚体之间的运动关系。 一、位置的描述（位置矢量） 对于直角坐标系{A},空间任一点p的位置可用3×1的列矢量Ap（位置矢量）表示： 其中px，py，pz是点p在坐标系{A}中的三个坐标分量。 Ap的上标A代表参考坐标系{A} 。 二、方位的描述（旋转矩阵） 为了规定空间某刚体B的方位，设置一直角坐标系{B}与此刚体固接。用坐标系{B}的三个单位主矢量xB，yB，zB相对于参考坐标系{A}的方向余弦组成的3×3矩阵 来表示刚体B相对于坐标系{A}的方位。 称为旋转矩阵，上标A代表参考坐标系{A} ，下标B代表参考坐标系{B} 。 有9个元素，其中只有3个是独立的。因为 的三个列矢量AxB， AyB 和AzB 都是单位主矢量，且两两相互垂直，因而它的9个元素满足6个约束条件（正交条件） § 2.1 刚体位姿描述 AxB? AxB = AyB ? AyB = AzB ? AzB =1 AxB? AyB = AyB ? AzB = AzB ? AxB =0 可见，旋转矩阵 是正交的，并且满足条件 上标T表示转置 ， 为行列式符号 。 对应于轴x，y或z作转角为θ的旋转变换，其旋转矩阵分别为 式中，s表示sin，c表示cos 。以后将一律采用此约定。 § 2.1 刚体位姿描述 三、位姿描述 为了完全描述刚体B在空间的位姿（位置和姿态），通常将物体B与某一坐标系{B}相固接。 {B}的坐标原点一般选在物体B的特征点上，如质心或对称中心等。相对参考系 {A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量ApB。和旋转矩阵 描述 ，这样刚体B的位姿可由坐标系{B}来描述，即： 当表示位置时，上式中的旋转矩阵 =I(单位矩阵）； 当表示方位时，上式中的位置矢量ApB。 =0 。 § 2.1 刚体位姿描述 空间中任意点p在不同坐标系中的描述是不同的。为了阐明从一个坐标系到另一个坐标系的描述关系，需要讨论变换问题。 一、坐标平移 设坐标系{A} 与{B}具有相同的方位，但 {B}坐标系的原点与 {A}的原点不重合。 用位置矢量ApB。描述它相对于{A} 的位置，称ApB。为 yB xA yA zA xB zB Ap {B} {A} oA oB ApB。 {B}相对于 {A}的平移矢量。 点p在坐标系{B}中的位置为Bp， 则点p在坐标系{A}中的位置为Ap可由矢量相加得出： Ap= Bp + ApB。 上式为坐标平移方程。 § 2.2 坐标变换 二、坐标旋转 设坐标系{A} 与{B}具有相同的坐标原点，但 两者的方位不同。 用旋转矩阵 描述{B}相对于{A} 的方位。同一点p在两个坐标系{A} 和{B}中的描述Ap和Bp具有如下变换关系： 上式为坐标旋转方程。 yA zA xA yB zB xB Bp 可以类似用 描述{A} 相对于{B}的方位。 和 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交矩阵的性质有： § 2.2 坐标变换 xA yA zA xB yB zB xC yC zC Ap Bp ApB。 坐标系{B} 的原点与{A}的原点既不重合，两者的方位又不同时，用位置矢量ApB。描述{B}的坐标原点相对于{A} 的位置，用旋转矩阵 描述{B}相对于{A} 的方位，则任一点p在坐标系{A} 和{B}的描述Ap和Bp具有如下变换关系 § 2.2 坐标变换 三、复合变换 § 2.3 齐次坐标变换 齐次坐标是用n +1维坐标来描述n维空间中的位置，其第n +1个分量(元素)称为比例因子。引入齐次坐标不仅对坐标变换的数学表达带来方便，而且具有坐标值缩放功能；对三维