★选修2-3计数原理、概率、统计案例剖析.docx

选修2-3 计数原理、概率、统计案例第1章计数原理一、两个基本计数原理1.分类计数原理完成一件事，有类方式，在第类方式中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。2.分步计数原理完成一件事，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。二、排列1.定义（1）排列：一般地，从个不同的元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列；（2）排列数：一般地，从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。2.排列数公式：根据分步计数原理，得到排列数公式为：，其中，且。3.全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列，在排列数公式中，当时，即有，称为的阶乘，通常用表示，即。4.排列数公式的阶乘形式5.排列数等式及证明（1）证明：解释：从个不同的元素中取出个元素，相当于先取出1个，再从剩下的个中取出个。（2）证明：含义：对个不同元素全排列，相当于先取其中个元素进行排列，再对剩下的个进行全排列。（3）证明：解释：将考虑成从个不同元素中任取个元素的排列，可以分为两类：第一类取出的个元素中含有某个元素的排列，只需在其余个元素中任取个后再取出元素，有种取法；第二类取出的个元素中不含某个元素的排列，只需在除去元素的其余个元素中任取个，有种取法。最后根据分类加法计数原理，可知。（4）（裂项相消法）证明：因为，所以。（5）（规定）三、组合1.定义（1）组合：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；（2）组合数：此个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示。2.与排列的关系排列是先从个不同元素中取出个元素，然后将这个元素按一定的顺序排成一列，而组合只要选取个元素即可，不需要排序。简言之，组合是选择的结果，排序是选择后再排序的结果。3.组合数公式根据分步计数原理，得到，因此：特别地，当时，；当时，。4.组合数的性质（1）对称性：证明：应用：为了简化计算，当时，通常将计算化为计算。（2）（类似于）证明：解释：从个不同元素中任取个元素的组合，可以分为两类：第一类取出的个元素中含有某个元素的组合，只需在除去元素的其余个元素中任取个后再取出元素，有种取法；第二类取出的个元素中不含某个元素的组合，只需在除去元素的其余个元素中任取个，有种取法。根据分类加法计数原理，得到。应用：简化计算，如四、计数应用题1.特殊元素、特殊位置优先策略先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。如排列数字构成奇数或偶数，特殊值0，需特别考虑。2.相邻问题捆绑策略要求在个元素中有个元素相邻，把相邻的个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与个“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。共有种排法。若要求另外还有个元素相邻，则也捆绑为一个大元素，然后再与个“普通元素”全排列，则共有种排法。3.不相邻（相间）问题插空策略某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素中间和两端（有时先安排有限制的条件）。困难问题可以先考虑排列或组合后的最终情况，再捆绑和或插空。个元素全排列，其中个元素互不相邻，不同的排法有，当即时有意义。4.定序问题倍缩空位插空策略个不同元素中，有个顺序一定，则可以用3种方法：（1）倍缩法：先把这个元素与其余个元素一起进行排列，然后用总排列除以这几个元素之间的全排列数，即种；（2）空位法：先排列其余个元素，则剩下个空位给个元素按给定顺序放置，种；（3）占位插空法：先排列个元素，再排列其余个元素。第一个元素可插入的空有个，有种；第二个元素可插入的空有个，有种，依次类推，则第个元素有种，故总共有种排法。5.相同元素分组插板法把个相同元素分到不同的组，每组至少有1个元素，则只需在个元素的个间隔中插入块隔板，共有种分法。若允许分到的元素数为0，则先添加个元素保证每份有1个，再对这个元素分组，共有种分法。若有的组至少不止一个，则再总数中将比1多的部分减去。通过增减元素数量，将问题转化为每份至少有1个元素。【例】将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个盒子中的方法数应为，这也就是方程的正整数解的个数。如果把12个相同的球放到4个箱子里，允许空箱，则有种方法。结合隔板法，可知方程的正整数解的个数是，非负整数解的个数是。求的非负整数解的个数。设，则转化为，即求这个新方程的正整数解个数，为个。6.重排问题求幂