初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全剖析.doc

初中数学奥林匹克竞赛教程 初中数学竞赛大纲（修订稿） ?? 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 ??? 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 ??? 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 ??? 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 ??? 奇数和偶数，奇偶性分析。 ??? 带余除法和利用余数分类。 ??? 完全平方数。 ??? 因数分解的表示法，约数个数的计算。 ??? 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 ??? 综合除法、余式定理。 ??? 拆项、添项、配方、待定系数法。 ??? 部分分式。 ??? 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 ??? 恒等式，恒等变形。 ??? 整式、分式、根式的恒等变形。 ??? 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 ??? 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 ??? 含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。 ??? 含绝对值的一元一次不等式。 ??? 简单的一次不定方程。 ??? 列方程（组）解应用题。 5、函数 ???? y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及 y=ax2+bx+c的图像和性质。 二次函数在给定区间上的最值。简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。 6、逻辑推理问题 抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。 ??? 简单的组合问题。 ??? 逻辑推理问题，反证法。 ??? 简单的极端原理。 ??? 简单的枚举法。 7、几何 ???? 四种命题及其关系。 三角形的不等关系。同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系。 ??? 面积及等积变换。 三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。 第一讲?整数问题：特殊的自然数之一 A1－001 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方． 【题说】 1956年～1957年波兰数学奥林匹克一试题1． x＝1000a＋100a＋10b＋b ＝11（100a＋b） 其中0＜a≤9，0≤b≤9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b≤18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882． A1－002 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方． 【题说】 1953年匈牙利数学奥林匹克题2． 【证】 设2n2＝kd，k是正整数，如果 n2＋d是整数 x的平方，那么 k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k） 但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数． A1－003 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数． 【题说】 1962年上海市赛高三决赛题 1． 【证】 四个连续自然数的乘积可以表示成 n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1 因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．?A1－004 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明