函数的奇偶性_剖析.ppt

点此播放讲课视频 函数的奇偶性 在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。 除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？ 而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。 点此播放讲课视频 观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？ x y O 1 -1 f(x)=x2 （1） （2） y x O x0 -x0 观察：函数f(x)=x3 有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3 f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x) -x x 结论:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x) 点此播放讲课视频 -x x f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 而函数f(x)=x2 ， 却是另一种情况，如下： f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-x)=(-x)2=x2 f(-1)=f(1) f(-2)=f(2) f(-x)=f(x) 结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x) 而函数f(x)=x2 ， 却是另一种情况，如下： 函数奇偶性的定义: 偶函数定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数. 奇函数定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数. 注意: (2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。 （3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。 （1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性。 判断函数奇偶性的步骤: (1)、先求定义域看是否关于原点对称。 (2 )、判断f(x)=f(-x)与f(-x)=-f(x)是否恒成立。 思考1：说出下列函数的奇偶性: ①f(x)=x4 ________ ③ f(x)=x ________ ④ f(x)=x -2 __________ ⑤ f(x)=x5 __________ ⑥f(x)=x -3 _______________ ② f(x)= x -1 __________ 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 对于形如 f(x)=x n ( ) 的函数，在定义域R内: 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。 f(x)=x+1/x 思考2： 判断下列函数的奇偶性 解: 定义域为 [0 ,+∞) ∵ 定义域不关于原点对称 ∴f(x)为非奇非偶函数 f(x)=x1/2 思考3： 在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？ 有。例如：函数 f(x)=0 是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。 x y 0 1 f(x)=0 -1 奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数 根据奇偶性, 函数可划分为四类: 本课小结: 两个定义: 对于函数f(x)定义域内的任意 一个x 两个步骤:（判断函数的奇偶性） 如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。 （1）先求出定义域，看定义域是否关于原点 对称 （2）再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。 * * * * * * * * * * * * * *