函数值域的求法剖析.ppt

2. 函数值域的求法 函数的值域 (1)函数值域的定义 在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． (2)确定函数值域的原则 ①当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中y的值的集合． ②当函数y＝f(x)的图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的值的集合． ③当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则惟一确定． ④当函数由实际问题给出时，函数的值域应结合问题的实际意义确定． 1、基本初等函数的值域： （1）一次函数y=kx+b(k≠0)的值域：R （2）反比例 函数的值域：{y|y∈R,y≠0} （3）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域： a0时， a0时， 知识归纳 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在给定区间 [m,n]上的值域：由图象取： [min{f(m),f(n),f( )},max{f(m),f(n), f( )}] （4）指数函数y=ax(a0,a≠1)的值域：(0,+∞) （5）对数函数y=logax(a0,a≠1)的值域：R （6）幂函数y=xα(α∈R)的值域： α0时，值域为[0,+∞)或R， α=0时，值域为{y|y∈R,y≠0}， α0时，值域为(0,+∞)或{y|y∈R,y≠0} （7）三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的值域分别为：[-1,1], [-1,1],R 2、求函数值域的方法： 基本原则：分解、变形、转化 （1）直接法：初等函数或初等函数的复合函数，从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围； （2）二次函数法：形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数利用换元法将函数转化为二次函数求值域； （3）换元法：代数换元，三角换元，均值换元等。 （4）反表示法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域； （5）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围； （6）单调性法：利用函数在定义域上的单调性求值域； （7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域； （8）图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域； （9）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域； （10）数形结合法：由几何意义，转化斜率、距离等求值域。 3．运用不同方法求函数的值域 [例]　求函数y＝ 的值域． 分析：本题中函数的定义域为R，且分子、分母中至少有一个为关于x的二次式，所以可用判别式法；但注意到分子为x的一次式，可在x≠0时，分子、分母同除以x，用均值定理去求解；导数法更具有一般性． * * * [例1]求下列函数的值域： (1) (2) (3) 变式 典型例题 类型一.初等函数的复合函数：