反比例函数面积不变性的探究.doc.doc

反比例函数面积不变性的探究 反比例函数的图象具有面积不变性:如图1，点是反比例函数图像上任意一点，过点分别作轴，轴，垂足分别为、可以得到. 图1 一、探究过程 探究1 如图2，点,分别是反比例函数图象上两点，过点,分别作轴，轴，垂足为、，得到,，求.若、分别是轴和轴的动点，则和分别是多少? 图2 通过探究不难得出.而因为//轴，所以;因为//轴，所以.从而得出不仅特殊的直角三角形的面积等于，利用同底等高的两个三角形的面积相等可以得出更加一般的三角形的面积也等于. 探究2 如图3，将探究1中的、移到、的位置，此时和还等于吗?根据面积相等，你能否发现与之间的位置关系?若直线与轴、轴分别交于 、两点，你能发现与、的数量关系吗?试说明理由. 图3 根据探究1的分析，第一个问题应该很快得出:的一半，因为两个三角形具有公共的底边，所以高也会相等，即、两点到的距离相等，所以//.而 // ,// ，因此四边形和四边形均为平行四边形，所以.进一步还可以知道平行四边形和的面积为. 练习1如图4，将透明三角形纸片的直角顶点落在第四象限，顶点、分别落在反比例函数图象的两支上，且轴于点,轴于点,分别与轴，轴相交于点、,已知(1,3). (1)= ; (2)试说明; (3)当四边形的面积为时，求点的坐标. 图4 分析 第(1)、(2)小题可以根据上述探究直接得出.第(3)小题四边形的面积可以分成平行四边形和两部分，因为平行四边形的面积为3，可得的面积为，因为= 3所以可得=2，由此可得的坐标为(1，－2). 探究3 如图5，若将上述的的直线平移，使得直线经过原点，这时探究2中的结论还成立吗?的面积与比例系数有什么关系? 图5 显然，这是前面探究1 ,2的一种特殊情形，即点与点重合于，点和关于原点中心对称，上述结论显然成立，而且点、也成为了和的中点.此时的面积等于. 探究4 如图6，将直线旋转，使得直线与双曲线的一个分支相交于、两点，与坐标轴交于、两点.同样作轴，轴，垂足为、,得到,，则与的面积相等吗?试用不同的方法证明//. 还成立吗? 图6 显然,与的面积都为的一半，主要是探究// 的证明方法，探究2的分析过程其实就是第一种方法.那么还有什么证法呢?经过分析可以发现另外两种证法. 另证一 令与交于点,证明与相似.可以设的坐标为，的坐标为，则的坐标为，的坐标,的坐标为.求出,,,的长度，根据对应线段成比例且夹角对应相等就能得到相似，进一步得出平行. 另证二 根据两点可以求出直线和直线的解析式，发现两条直线的斜率一样，因此两直线平行. 练习2如图7，已知反比例函数( 0,是常数)的图象经过点(1,4)，点( ,) ,其中1,轴，垂足为,轴，垂足为, 与的交点为. (1)写出反比例函数解析式; (2)求证:∽; (3)若与的相似比为2,求出点的坐标及所在直线的解析式. 图7 分析 第(1) 、(2)小题可以根据上述探究直接得出.第(3) 小题由与的相似比为2，可得，所以的横坐标为3,纵坐标为,的解析式为. 探究5 如图8，将、两点重合使得直线与双曲线只有一个唯一的交点，你能从图中发现哪些类似的结论? 图8 这是一道开放性探索题，也是探究4的特例.运用几何画板动态演示之后，至少可以发现以下结论:(1) //;; (2); (3). 练习3 如图9，点在双曲线上，过点的直线与坐标轴分别交于、两点，且tan，点是该双曲线在第四象限内的一点，过点的直线与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点、.则四边形的面积最小值为( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)不确定 分析 由题意，可得(