大数定律和中心极限定理基本概念-读书人.doc

大数定律和中心极限定理基本概念 1、概念网络图 2、重要公式和结论 （1）大数定律 切比雪夫大数定律 设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）C(i=1,2,…),则对于任意的正数ε，有 特殊情形：若X1，X2，…具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为 伯努利大数定律 设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有 伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大数定律 设X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有 （2）中心极限定理 列维－林德伯格定理 设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：，则随机变量 的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗－拉普拉斯定理 设随机变量为具有参数n, p(0p1)的二项分布，则对于任意实数x,有 （3）二项定理 若当，则 超几何分布的极限分布为二项分布。 （4）泊松定理 若当，则 其中k=0，1，2，…，n，…。 二项分布的极限分布为泊松分布。 例5．1：设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当依概率收敛于 。 例5．2：设{Xk}为相互独立且同分布的随机变量序列，并且Xk的概率分布为 试证{Xi}服从大数定律。 例5．3：一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。 例5．4：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1 。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的 (A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍