吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习导数与定积分学案理剖析.doc

导数与定积分 知识梳理：（阅读选修教材2-2第18页—第22页） 导数及有关概念： 函数的平均变化率：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即 在定义式中，设，则，当趋近于时，趋近于，因此，导数的定义式可写成 . 导数的物理意义和几何意义： (1).导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度. (2).它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率. 即， 要注意“过点的曲线的切线方程”与“在点处的切线方程”是不尽相同的，后者必为切点，前者未必是切点. (3).如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为 (4).导数的物理意义：位移对时间的导数是瞬时速度。 导函数(导数): 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝ 说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值. 函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝.所以函数在处的导数也记作 4.可导与连续的关系：如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导；如果函数在点处可导，那么函数在点处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件. 5.求函数的导数的一般步骤： 求函数的改变量 求平均变化率； 取极限，得导数 6.几种常见函数的导数： (为常数)；()； ； ； ； ， ； 7.求导法则： 法则 ． 法则 , 法则： 8.复合函数的导数： （1）.（理科）设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且 或 (2).复合函数的求导法则：（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 (3).复合函数求导的基本步骤：分解——求导——相乘——回代 9.定积分(理科) （1）概念 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝(ξi)△x。 这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。 ＝C ；＝︱（m∈Q， m≠－1）；dx＝ln︱；＝ ；＝ ；＝sinx ；＝－cosx 。 （2）定积分的性质 ①（k为常数）； ②； ③（其中a＜c＜b。 （3）定积分求曲边梯形面积 。 如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（ab）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。 题型探究： 【探究一】．用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。 例１： 已知，求 (-) 设函数在点处可导，求 ) 【探究二】．导数的几何意义 例2:已知曲线 . (1)、求曲线在点P（2，4）处的切线方程； (y=4x-4) (2)、求过点P（2，4）的曲线的切线方程； (y=x+2,y=4x-4) （3）、求过点P（0，0）的曲线的切线方程； (y=x) （4）、求斜率为1的曲线的切线方程。 (y=x+2;y=x+) 【探究三】：导数的物理意义 例3：某市在一次降雨过程中，降雨量y（mm）与时间t（min）的函数关系可以近似地表示为， )=0.25) 【探究四】：导数的运算： 例4：求下列函数的导数 （1）、sin2x （2）、 (3)、 【探究五】：求导运算后求切线方程 例5：已知函数 (1)、若a=1，点P为曲线上的一个动点， （2）、求函数在（）函数， (a=1) 【探究六】．研究函数的图象 例 例．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)0的解集为() A．)∪(,2) B．(－∞，0)∪(，2) C．(－∞，∪(，＋∞) D．(－∞，)∪(2，＋∞) 解析：选B.由f(x)图象单调性可得f′(x)在(－∞，)∪(2，＋∞)大于0，在(，2)上小于0，∴xf′(x)0的解集为(－∞，0)∪(，2)． 例8：【2015高考天津，理1