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力学 主讲教师：刘树新 北京大学物理学院 A 行列式 A.1 行列式 行列式的运算规则可用下述递归方式定义： 性质1：行列可互换性 A.2 应用 例1. 公比0≤q＜1的无穷等比级数求和 思考题1：取火柴游戏 思考题2：机器猫与玩具鼠 B 矢量的代数运算 B.1 矢量的叠加与分解 万有引力定律 矢量的代数性质 矢量的分解 k维空间 思考题3： k维空间正方“体” B.2 矢量的标积 矢量标积的一些基本性质 三维空间 例题3 重力功的计算 B.3 矢量的矢积 矢积的一些基本性质 例4 矢积在物理学中的应用一 B.4 矢量的三重积 C 一元函数微积分 C.1 微分 C.2 微商（导数） 导数的一些重要性质 复合函数的微商 例7 几个函数的求导 泰勒展开 矢量微商 C.3 积分 例题9 定积分与曲线长度 线积分 面积分 体积分 例题10 求密度为球对称分布的球体质量 Thanks 许多物理量是矢量，一般都随时间和空间坐标而变化。 任意矢量A(t)可分解为 其中基矢均不随t变化。A对t的导数为 即有 例如 质点位矢 r 分解成 速度 加速度 矢量A(t)与矢量B(t)的标积 即得 若 称 f (x) 是 F (x) 的导函数， F (x) 是 f (x) 的原函数 定积分 O x y x x+dx 积分的上限 积分的下限 原函数求导 导函数积分 积分是求导的逆运算 最简单的积分 O x y x x+dx 不定积分: 求函数的所有原函数 几个常用公式: 不定积分的一个重要性质 定积分的几何意义 O x y x x+dx O x y x dx dy dl y = f (x) D 多元函数微积分 D.1 偏微商（偏导数） 多元函数是由多个独立自变量构成的函数 理想气体的状态方程 长方形的体积 仅由自变量x1的无穷小变化引起的函数增量 称为函数对x1的偏微分 类似可引入函数对其它自变量的偏导数 函数对x1的偏微商或偏导数 例如：理想气体的状态方程 T 对p求偏导数时将V处理为常量 T 对V 求偏导数时将p处理为常量 k 个自变量均有无穷小增量时引起的 y 增量 例如 理想气体的状态方程 多元函数的全微分 或 或 D.2 线积分、面积分和体积分 物理学中的物理量一般都是空间位置r的函数，经常 需要沿着某一路径、在某一曲面上、在某一体积内积分， 所以引入多元函数的线积分、面积分和体积分。 标量 矢量 它可分解成 三个分量 力矩 角动量 洛仑兹力 安培力 毕奥-沙伐尔定律 a b P 例5 矢积在物理学中的应用二 几何意义：平行六面体的体积 三重标积的循环可交换性 三重标积 矢量的三重矢积 三重矢积必在B、C确定的平面内， 是B、C的线性组合。 A组 2、3、6、8、10、11、14、15、18 B组 22、23、24 数学补充知识作业题 一元函数可记为 或 O 自变量 x 的增量: 函数增量: 线性函数 当自变量的增量很小时， 其它函数的增量能否写成类似的形式？ 抛物线函数 含有高阶无穷小，其它函数类似。 自变量增量 时, 称为自变量微分,改记成dx 相应的函数增量 , 称为函数微分,记成dy dy与dx的关系 微分 ——忽略高阶无穷小 数学上可以证明, 对无穷小量dx, 有 定义 O x x y y P Q 几何意义: 平均变化率 函数在x处的导数等于函数曲线在x处切线的斜率 例6 函数导数的几个实例 链式法则: 可看作 可变换为 即得 可变换为 即得 可递归地得到 既有 三个常用导数公式 是任意实数 二阶导数 简写成 依此类推, n阶导数记作 例如 极大值或极小值? 则由该点的二阶导数来确定 导数与极值 O x y y P x Q M 极大值点 极小值点 O x y y P x Q M N 非极值点，称为拐点 在 x = 0 处 例题 找出 的全部极值点 极大值点 极小值点 导数的一个重要应用——函数的幂级数展开 自变量 函数增量 也可写成 猜想函数有如下的幂级数展开 -----泰勒(Taylor)级数 确定泰勒级数的展开系数 展开式两边对 x 依次求导, 再取 x = x0, 可确定所有项的系数 泰勒级数的收敛性 因为y(x)是有限的, 所以至少要求 函数y(x)若能在x0两侧某范围内展开为泰勒级数，便称这一范围为y(x)的收敛区域。 x0= 0的泰勒级数，也称为马克劳林(Maclaurin)级数 第1项 前3项 前2项 前4项 前9项 奇函数 偶函数 例题8 导出欧拉(Euler)公式 比较得 * * 第零章数学补充知识 A 行列式 B 矢量的代数运算 C 一元函数微积分 D 多元函数微积分 元素： i: 行标;