旋转变换。.ppt

第一节 变换的数学基础 一、向量及向量运算 我们通常将只有大小的量（如物体的质量、体积、密度等）统称为标量或数量；而将既有大小、又有方向的量（如速度、加速度等）统称为矢量或向量。 简记成 ，或 叫做一个m行n列的矩阵，简称 矩阵。 叫做第i行第j列上的元素。当 时，叫做n阶方阵（或n阶矩阵）。此时，元素 称为主对角线元素。只有一行的矩阵 称为行矩阵或行向量；只有一列的矩阵 称为列矩阵或列向量。 当a、b、c、d取不同的值时产生不同的对称变换。 1) 当b=d=0，a=1，e=1时，有x’=-x，y’=y，产生相对于y轴对称的反射图形。 2)当b=d=0，a=1，e=-1时，有x’=x，y’=-y，产生相对于x轴对称的反射图形。 3) 当b=d=0，a=e=1时，有x’=-x，y’=y，产生相对于原点对称的反射图形。 4) ?当b=d=1， a=e=0时，有x’=y, y’= x，产生相对于y=x直线对称的反射图形。 5) 当b=d=-1， a=e=0时，有x’=-y, y’= -x ，产生相对于直线y=-x对称的反射图形。 第四节 三维图形变换 与二维图形几何变换相同，对于三维图形几何变换矩阵 从变换功能上分成四个子矩阵， 容易看出 中各元素如果记为 ，则可以写出： 对 或 ，有： 思 考 题 P60：2、16、17、19。 投影平面垂直于坐标轴的正交投影称为正投影。正交投影还有另一种常见的情形是等轴投影，这种投影要求投影平面的法线方向，即投影方向与三个坐标轴的夹角都相等。这种投影能使在三个坐标轴方向上有相等的透视缩短 斜交投影 当平行投影中投影平面的法线方向与投影方向不同时就得到斜交投影。在斜交投影中，投影平面一般取坐标平面。 设三维空间中有普通坐标为的任意一点 ，经斜交投影后所得投影点普通坐标为 。显然 ，有： 斜交投影中两个比较重要的情形是斜二测投影和斜等轴投影。斜二测投影使垂直于投影平面的线段长度缩短为原来的一半;斜等轴投影使垂直于投影平面的线段仍保持长度. 透视投影 透视投影中，任意一组平行直线，如果平行于投影平面，则经投影后所得到的直线或者重合，或者仍保持平行；如果不平行于投影平面，将不再保持平行。实际上任意一组不平行于投影平面的平行直线，投影后所得直线，必将会汇聚于同一点，这个点称为消失点，也称为灭点。 空间中可以取得任意多组不平行于投影平面的平行直线，所以消失点也可以取得任意多个。 引入三维直角坐标系后，在透视投影中，如果一组平行直线平行于三个坐标轴中的一个，那么对应的消失点将落在坐标轴上，这样的消失点称为主消失点。因为只有三个坐标轴，所以最多只有三个主消失点。根据主消失点的数目，透视投影可以分为一点透视、二点透视、三点透视。 如果投影平面截Z轴并与它垂直，这时就只能在Z轴方向上有主消失点。 单消失点的透视投影计算 左坐标系下，投影中心是坐标原点，投影平面垂直于Z轴。设投影平面位于处Z=d，可设d0。这样投影平面是平面Z=d，对空间中任意一点 ，其普通坐标为 ，它在投影平面上的投影点 的普通坐标为 。 利用后两个图中三角形的相似关系，可以得出： 使用齐次坐标可以得出： 对齐次坐标进行规范化后得： 透视投影变换矩阵为： 实用中常取Z=0为投影平面，这时投影中心可取空间中任意一点 ，这里假定了 是一个负数，即 ， ，当然这个假定并不是必要的。用前面相同的方法，可以得出： 可以用齐次坐标验证，有： 将结果规范化后得到齐次坐标为： 第六节 裁剪 裁剪就是去掉窗口外的不可见部分，保留窗口内的可见部分的过程。 裁剪区域：矩形、任意图形 裁剪对象：点、线段、多边形、 二维或三维形体 假设窗口的两个对角顶点分别是 、 ，则同时满足下列不等式的点 是要保留的点，否则就要被舍弃： ???? 直线段裁剪算法 ?? Cohen-Sutherland算法 该算法的基本思想是：首先判断直线段是否全部在窗口内，是，则保留；不是