极限定理.ppt.ppt

三、大数定律 两个问题： 贝努利试验的描述： 在每次试验中,P(A)=p; 各次试验相互独立。 由契比雪夫不等式：P{|X-?| ??} ? ?2/?2，得 2、契比雪夫(大数定律)定理 设{Xn}为相互独立的随机变量序列，E(Xi)存在,D(Xi)≤M，(i=1，2，… 则对 ??0，有 四、中心极限定理 设X1,X2,…,Xn,…独立同分布，E（Xn）=?，D（Xn）=? 2≠0，则 无论各R.v.Xn 的分布为何,都有(当n→∞时) 3、几点说明 ☆ 若{Xn}不同分布，但相互独立，则在一定条件下 仍有 五、极限定理的初步应用 若X?B(n,p),则n 很大时,近似有 例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vi（i=1,2,…,20）,设它们是相互独立的随机变量，且都服从（0，1）上的均匀分布。记V= ，求P{V105}的近似值。 * 极 限 定 理 二、依概率收敛 一、契比雪夫不等式（复习） 四、中心极限定理 五、极限定理的初步应用 ? ?-? ?+? 设随机变量X具有均值E(X)=? ,方差D(X)=?2 则对?? 0 ,有不等式 二、依概率收敛 随机变量序列{Xn}, a为常数，对任意正数?，有 Xn a 依概率 一、契比雪夫不等式（复习） a . . . . . . . . . . . . . . . . . . ② 若X1,X2,…Xn…为随机变量，随着 n +? , 的 分布将会如何？ ⊙ 这里所谓的“极限”,就是前面讲以概率收敛的意思，即考察是否存在常数a，使 ⊙ 这两个问题一个是概率的极限问题，一个是分布的极限问题，相应的一系列结论分别被称为“大数定律”、“中心极限定理”，统称极限定理。 ① 若X1,X2,…Xn…为随机变量，而 Yn= ,那么随着 n +? , Yn的极限如何？ 1、问题的引出 在n次独立重复试验中，事件A发生的频率是否逐渐稳定于A的概率p？ 分析： nA表示n次试验中A发生的次数， 则为n次试验中A发生的频率，即 fn(A). 实际上，若记Xi为A在第i次试验中发生的次数,则有 三、大数定律 fn (A)的极限行为的讨论： nA是随机变量！ 且 nA?B(n,p),进而 E[nA]=np, D[nA]=np(1-p) ; 也是随机变量，分布未知,但 可见，n ? 时，D(fn(A)) 0, 而E(fn(A))不变； 注意到： D(X)=0 ? P﹛X=C﹜=1. 故有 n ? 时，P(fn(A)=常数p) 1 ； 或说：当n 充分大时，fn(A)与常数p有较大偏差的概率很小； 由此得 ? 当 n充分大时，fn(A)? p； ? p很小时，fn (A)也很小。 fn(A) p 的证明 ： 依概率 证: 另一方面 所以 契比雪夫(大数定律)定理的特殊情况 实际意义 如何测定某厂生产的灯泡的平均寿命？ 独立地抽取n(n=1000,n=2000,n=5000等）只灯泡测量其 寿命，得一系列实数值： 抽取的数量越大精度越高 3、贝努利大数定理 在n次独立重复试验中，事件A发生了n A次，且P(A)=p, 则对任意正数ε有： 意义 频率稳定性的严格数学表达 注： [辛钦定理] 设X1,X2,…,Xn…为独立、同分布的随机变量，且有相同的数学期望E（Xi）= ?（i=1,2,…）， 则对??0，有 ③ 此外还有若干其它的大数定律，如马尔可夫大数定律等。 ④ 强大数定律（关于fn→p的另一种提法）： ② 契比雪夫大数定律还有其它“特例”。如辛钦定理。 ① 贝努利大数定律乃契比雪夫大数定律之特例。 1、独立同分布中心极限定理 标准正态分布 的分布函数 解释 为一个随机变量 将 标准化得 设Yn的分布函数为Fn(x) N(0，1) 证明从略 ~ N(0, 1) ~ 意义： 进而 注意条件：独立同分布… 德莫佛—拉普拉斯定理 设Zn~B(n,p)，n=1,2,...，则对任意实数 x 有 2、德莫佛—拉普拉斯定理 解释 独立同分布中心极限定理的特殊情况。 设Xi为A在第i次试验中发生的次数,则有 说明：由此定理得：若 X~B（n，p），则当n很大时有 （2）对任意区间[a，b]有 （1）对任意实数x，有 ？ ？ 近似地 还记得泊松定理 是怎么说得吗？ 泊松定理： X ~ ?（?）(近似地) —— {Xn}服从中心极限定理 ☆正是依据中心极限定理，