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欧拉示性数* 在数学中,更具体地说在代数拓扑和多面体组合学中, 欧拉示性数（或欧拉庞加莱示性数）是一个拓扑不变量, 用一个数字描述拓扑空间的形状或结构的方式，不论它的路径是不是弯曲的,这个数字通常被记为χ(希腊字母的第22个字). 欧拉示性数最初是为了多面体而定义的并且被用于各种有关定理的证明,包括柏拉图立体的分类,这个概念被命名为Leonhard Euler, Leonhard Euler负责了很多早期这方面的工作.在现代数学中,欧拉示性数起因于同调并且和很多其他的不变量相联系. 多面体 根据下列公式,欧拉示性数χ为多面体的表面正式定义. 这里的V, E,和F分别代表给定的多面体的顶点,边和面的数量.任何凸多面体的表面都有欧拉示性数: 这个公式被称为欧拉公式. 这个结果被称为欧拉公式,有关证明如下: 名称 图形 顶点V 边E 面F 欧拉示性数V-E+F 四面体 4 6 4 2 六面体或 正方体 8 12 6 2 八面体 6 12 8 2 十二面体 20 30 12 2 二十面体 12 30 20 2 非凸多面体的曲面具有不同的欧拉示性数: 名称 图形 顶点V 边E 面F 欧拉示性数V-E+F 四合四面体Tetrahemihexahedron 6 12 7 1 八合四面体 Octahemioctahedron 12 24 12 0 六合五面体 Cubohemioctahedron 12 24 10 -2 大二十面体 Great icosahedron 12 30 20 2 平面体 可以用多面体的公式V ? E + F定义平面体的表面,这里的F代表图形的面数包括外面的面.任何平面的欧拉示性数都等于2.为了能把球极平面射影平面映射到二维球面,这种映射到球面的分解的多边形的图形具有欧拉示性数2.这个观点隐含在下面柯西的欧拉公式证明中. 欧拉公式的证明 第一个关于欧拉公式的证明是柯西20岁时证明的,证明如下: 去掉多边形的一个面, 并将各拉开V ? E + F =1. 如果一个面有三条以上的边,画对角线—即穿过连接两个不再相连的顶点的平面的曲线.这样增加一条边和一个面并且不改变顶点的个数,因而它也不改变V ? E + F的值. 以这种方式继续增加边的条数直到所有的面都是三角形的. 反复运用以下两个变形: 去掉只有一条边邻近外部的一个三角形,正如图2所示.这样逐个减少边和面的数量并且不改变顶点的个数,因此它使得V ? E + F的值保持不变. 去掉被外部网状图形共有两条边的一个三角形,如图3所示.每个三角形去掉一个顶点,两条边和一个面,因此它使得V ? E + F的值保持不变. 反复依顺序按照这两个步骤进行,直到最后只剩下一个三角形. 此时这个唯一的三角形有: V = 3, E = 3, F = 1,所以V ? E + F = 1.因为上面两个步骤的变形都使得V ? E + F的值不变,因而这个变形的平面体就证明了多面体V ? E + F = 2. 证明可参见David Eppstein的19个有关欧拉公式的证明.各种证明包括它们的缺点和局限作为例子被Imre Lakatos[1]用在证明和反证中. 拓扑的定义 用现代语言来说,上面所提到的多面体的表面是二维的CW-复形. 一般而言,任何有限的CW-复形可被定义为交错和: χ = k0 ? k1 + k2 ? k3 + ..., kn代表复形中维数n的单元数. 对于任意的拓扑空间, 我们可以把第n个Btti数bn定义为第n个 连续同岛的秩.从而欧拉特征就可以定义为交错和: χ = b0 ? b1 + b2 ? b3 + ... 如果所有的Btti数都是有限的并且如果它们是超过一个确定指数n0的0,这个量就是良定义的. 性质: 同伦不变性 因为同调是一个拓扑不变量,所以它是欧拉示性数. 比如, 任意凸多面体是同胚于三维球,所以它的表面是同胚于欧拉示性数为2的二维球体.这就解释了凸多面体的欧拉示性数为2. 容斥原理 如果M 和 N是任意两个拓扑空间,那么它们的不相交并集的欧拉示性数为它们欧拉示性数的和,因为同调在不相交并集下是相加的: 更一般地,如果M 和 N是一个更大的空间X的子空间,那就为他们的并集和交集在某些情况下，欧拉示性数满足容斥原理的一条: 可积性 同样地,任何积空间M × N的欧拉示性数满足: 集合的基也具有这些加法和乘法性质.这样,欧拉示性数就可以被看作成基数的概括.见[1] 覆盖空间 有关这个论题可详见Riemann–Hurwitz公式. 类似地,对于一个k叶覆盖空间 有: 更广泛地,对于一个分歧覆盖空间,覆盖的欧拉示性数可通过上式算出来并且分歧点的一个相关因子可以得到Riema