第十二讲中心极限定理数理统计基本知识第十二讲.ppt

当 k = 10 ，α = 0.05时，可查得 例如 3. F 分布 定理3 设随机变量X与Y独立， 则随机变量 其概率密度: 服从自由度为 的F分布，并记作 为第二自由度。 其中 为第一自由度； 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 * * 本次课结束第四章并讲第五章第1—4节，下次课结束第五章并讲第六章 下次上课时交作业P43—44，P57-P58 重点1：列维中心极限定理 重点2：样本函数即统计量， 重点3：常用的统计量 回顾：正态分布均值方差计算的线性规则 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 正态分布需要关注和其它分布的不同点，除了分布函数与密度函数的形式不同以外，它区别于其它分布的几个重点如下： 例题1(1999,3分) 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 例题2（1998，6分） 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 一、中心极限定理 1.背景：大数定理告诉我们，随机变量个数很大时，独立随机变量之和收敛于其均值的和。此时，独立随机变量之和的标准变量的概率分布应是什么状态？中心极限定理告诉我们，变量个数很大时，和的分布依概率收敛于标准正态分布。 设随机变量之和为: 且数学期望和方差都存在： 设随机变量 相互独立, 则 则和的标准变量为： 2.中心极限定理变量的设定 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 1.林德伯格条件及其意义 设独立随机变量 有 其中 是随机变量 的概率密度, 若对于任意的正数 , 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 林德伯格定理长一些，我们不去证明，这里只解释它的意义： 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 则当 时， 有 设独立随机变量 满足林德伯格条件: 有 其中 是随机变量 的概率密度, 即对于任意的正数 , 2.林德伯格定理 (z 为任意实数) 即 列维定理 服从相同的分布， 并且有数学期望和方差： 则当 时， (z 为任意实数) 设独立随机变量 它们和的极限分布是正态分布，即 在中心极限定理中，我们重点关注列维-林德伯格定理和拉普拉斯中心定理 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 各次实验中发生的概率为 棣莫弗—拉普拉斯定理　 n 次实验中发生的次数, 则有 其中z 是任何实数， 设在独立实验序列中, 事件A 在 随机变量 表示事件A 在 为任意实数 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 当 n 充分大时, 变量　 近似地服从正态分布 由于随机变量　服从二项分布 所以棣莫弗—拉普拉斯 定理说明: 的随机 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 例题12-1-1 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 3.样本值（观测值） 对总体X中抽取n个体，得到的 n 个数据 称为样本 的一个样本观测值. 二、总体与样本 1.总体：所研究对象的全体。 总体的指标是一个随机变量，总体就是指某个随机变量X 可能取值的全体.记作X.相应地，个体是组成总体的每个单元（或元素）. 样本容量 样本中所包含的个体的数量n . 若从总体X中抽取 n 个个体 则称为X 的一 个样本. 2.样本：总体中的部分个体. 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 简单随机样本 简单随机抽样得到的样本 （1） （2） 具有下述特点: 简单随机抽样 （1）抽样的随机性 总体中的每一个个体都有同等的机会被抽到 . （2）抽样的独立 性 各次抽样的结果互不影响. 4.简单样本： 例如 从一批含有n个灯泡的产品中，不放回地取20个测定其寿命. 就是一简单随机样本 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 随机抽样可以近似看作是简单随机抽样. [注] 当总体容量 n很大，而样本容量 n 很小时 非简单 教材涉及的抽样与样本均是简单随机样本。 频 率 频 数 观测值 从总体中抽取容量为 n 的样本： 并得到 n 个样本的观测值， 其中： 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 5.样本分布函数： 设总体X的分布函数为 F(x) . 由伯努利大数定理可知， 即对于任意给定的正数ε，有 第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识 由此可知，样本分布函数是总体分布函数的一个良好的近似，统计理论中，它就称为用样本研究总体的依据。 样本分布函数的性质 （1） （2） （3） 跳跃间断点， （4） 样本分布函数 的图形如下所示： 1 第十二讲：中心