诊断基础知识突破高频考点培养解题能力c.ppt

第7讲　双曲线 1．双曲线的概念 (1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2(F1F2＝2c＞0)的距离的 为常数(小于F1F2且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个 叫双曲线的焦点， 的距离叫做双曲线的焦距． (2)第二定义：平面内到一个定点F与到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e(e＞1)的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，定比e称为离心率． 2．双曲线的标准方程和几何性质 辨 析 感 悟 1．对双曲线定义的认识 (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线． (×) (2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． (×) [感悟·提升] 1．一点提醒　双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于|F1F2|且大于零，如(1)中应为双曲线的一支；如(2)中应为两条射线． 2．三个防范　一是双曲线中的“a，b，c，e”和椭圆中的“a，b，c，e”既相似又有区别，椭圆中a2＝b2＋c2，而双曲线中c2＝a2＋b2，一定要注意它们的区别，切莫混淆，如(5)； 规律方法 (1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验． (2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上． 解析　(1)由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝21，∴|PF2|＝17. (2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)． 由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则 |PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P、E 三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而 |PF|＋|PA|的最小值为9. 答案　(1)17　(2)9 1．双曲线的很多问题与椭圆有相似之处，在学习中要注意应用类比的方法，但一定要把握好它们的区别和联系． 2．双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分： (1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程． 如果已知渐近线方程为ax±by＝0时，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法． 3．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系． [审题]　一审：求出直线F1B的方程． 二审：求出点P、Q的坐标及PQ中点坐标． 三审：求出PQ的垂直平分线方程，令y＝0得M点的坐标． 四审：由|MF2|＝|F1F2|建立关系式，求出离心率． [反思感悟] 求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系．对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题． 诊断基础知识 突破高频考点 培养解题能力 差的绝对值 定点 两焦点间 知 识 梳 理 坐标轴 c2＝ (c＞a＞0，c＞b＞0) a，b，c的关系 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长 实虚轴 性　　质 a2＋b2