第二章+一维随机变量及其分布讲解.pptx

第二章 一维随机变量及其分布 第一节 随机变量 第二节 离散型随机变量 第三节 随机变量的分布函数 第四节 连续型随机变量 第五节 随机变量的函数的分布 第一节 随机变量 定义设X ＝X (w )是定义在样本空间W上的实值函数，称X ＝X (w )为随机变量。 随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，…等表示。 下图给出样本点w与实数X ＝X (w )对应的示意图 例1 一射手对目标进行射击，击中目标记为1分，未中目标记为0分。设X表示该射手在一次射击中的得分，它是一个随机变量，可以表示为 随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一定的概率。 即，有了随机变量的定义之后，随机事件便可以用随机变量的等式或不等式所构成的集合来表示。 按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量。本章主要研究离散型及连续型随机变量 作业：P41 1 定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 （1） 称（1）式为离散型随机变量X的分布律 。 一般地，设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 第二节 离散型随机变量 分布律也可以直观地用下面的表格来表示： 例2 某系统有两台机器相互独立地运转。设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X表示系统中发生故障的机器数，求X 的分布律 解 故所求概率分布为： （一）（0－1）分布 设随机变量 X 只可能取0与1两个值，它的分布律是 则称 X 服从（0－1）分布或两点分布。 （0－1）分布的分布律也可写成 常见的离散型随机变量及其分布律 来描述这个随机试验的结果。 应用场合：检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（0－1）分布的随机变量来描述 。 伯努利试验是一种非常重要的概率模型，它是“在同样条件下独立地进行重复试验或观察”的一种数学模型，有着广泛的实际应用。 （二） 伯努利试验与二项分布 显然 例3 已知某类产品的次品率为0.2，现从一大批这类产品中随机地抽查20件，问恰好有k(k=0,1,2,…,20)件次品的概率是多少？ 解 这是不放回抽样。但由于这批产品的总数很大，且抽查的产品的数量相对于产品的总数来说又很小，因而可以当作放回抽样来处理。这样做会有一些误差，但误差不大我们将检查一件产品是否为次品看成是一次试验，检查20件产品相当于做20重伯努利试验。以X记抽出的20件产品中次品的件数，那么X是一个随机变量，且X～ b(20,0.2) 则所求的概率为 将计算结果列表如下： 作出上表的图形，如下图所示 补例4 某人独立射击5000次，每次命中目标概率为0.001。求此人最可能能成功次数。 二项分布与(0-1)分布之间的关系 在n重Bernoulli试验中，令 （三）泊松分布 应用场合：电话交换台接到呼叫的次数，公共汽车站到达的乘客数，一本书一页中的印刷错误数，商品的销售数量等，都服从泊松分布。 例5 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为l= 10的泊松分布。为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？ 解 由附录的泊松分布表知 只要在月底进货15件(假定上个月没有存货)，就可以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销 。 二项分布与泊松分布之间的关系(泊松定理) 注：泊松定理表明泊松分布是二项分布的极限分布。当n很大，p很小，而np比较适当时，可用泊松分布近似表示二项分布。 补例6 纺织厂女工照顾800个纺锭，每一个纺锭在某段时间内发生断头的概率为0.005（设短时间内最多发生一次断头），求在这段时间内总的断头次数超过2次的概率。 解： 作业：P48 3，4，6，7，8 在几何上，它表示随机变量X落在实数x左边的概率 第三节 随机变量的分布函数 定义 分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个实数轴。 分布函数具有以下基本性质： 注：（1）此三个性质是验证一个函数为分布函数的依据。 （2）分布函数F(x)是一种累积概率，它表示随机变量X取遍所有小于或等于x的值的概率的和，即F(x)=P{X? x}. 例1 方法：按左闭右开区间，进行分段，写出分布函数、 或画出图像。 由概率的有限可加性 分布函数为： 解 总结：按左闭右开区间，进行分段，写出分布函数，画出图像。 例2 在区间[1,5]上任意掷一个质点,用X表示这个质点与原