第11讲 边缘分布讲解.ppt

概率论与数理统计 第 11 讲 §2.5 边缘分布 2.5.1 边缘分布函数(P42) 二维随机向量 (X,Y) 作为一个整体, 有分布函数 F( x, y)，其分量 X与Y 都是随机变量，有各自的分布函数，分别记成 FX(x) 和 FY(y)， 分别称为X的边缘分布函数和Y的边缘分布函数；称 F(x, y) 为 (X, Y) 的联合分布函数。 FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y≤+∞}=F(x,+∞)， FY(y)=P{Y≤y}=P{X≤+∞,Y≤y}=F(+∞,y). X与Y的边缘分布函数实质上就是一维随机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数的是相对于 (X,Y) 的联合分布而言的。 同样地，(X, Y) 的联合分布函数 F(x, y)是相对于 (X, Y) 的分量X和Y的分布而言的。 注意: 求法(P43) 则 X 的边缘概率分布为（P43） Y 的边缘概率分布为 设(X, Y ) 是二维离散型随机向量，联合概率分布为 2.5.2 二维离散型随机向量的边缘分布 解： 例1：求X和Y的边缘分布。 把这些数据补充到前面表上, 2.5.3连续型随机向量的边缘概率密度 若 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y)，则 X的边缘概率密度为 Y 的边缘概率密度为 例 均匀分布(P49) 定义: 设G是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机向量(X, Y)的联合概率密度为: 则称(X,Y)为服从 G上的均匀分布。 例3：若(X,Y)服从矩形区域 a≤x≤b，c≤y≤d 上均匀分布，则边缘概率密度分别为 注：本例中X与Y都是服从均匀分布的随机变量。 但对其它非矩形区域上的均匀分布不一定有上述结论。 例4：设(X,Y)服从单位圆域 x2+y2≤1上的均匀分布。求X和Y的边缘概率密度。 解: 当|x|＞1时, 当-1≤x≤1时, ( 注意积分限的确定方法 ) 熟练时，被积函数为零的部分可以不写。 由X 和Y 在问题中地位的对称性, 将上式中的 x 改为 y，得到 Y 的边缘概率密度 例5：设(X, Y)的概率密度为 求 (1). c的值; (2). 边缘密度。 = 5c/24=1, c = 24/5; 解: (1). 解: (2) 注意积分限 注意取值范围 注意积分限 注意取值范围 即 若二维随机向量(X,Y)有联合概率密度 二维正态分布(P50) 正态分布(X,Y)的概率密度函数 f(x,y)满足: (1). (2). 例6：设 (X, Y) 求X和Y 的边缘概率密度。 解： 由 §2.5.4 随机变量的独立性 事件A与 B独立的定义是： 若 P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立 。 设 X, Y是两个随即变量, 对任意的 x, y, 若 则称 X与Y 相互独立。 用联合分布函数与边缘分布函数表示上式, 就是 其中 是(X,Y)的联合密度， 若 (X,Y) 是连续型随机向量 ，上述独立性定义等价于：对任意 x, y∈ R, 有 这里“几乎总成立”的含义是：在平面上除去一个面积为零的集合外，公式成立。 分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度 。 几乎总成立, 则称X与Y相互独立 。 * *