第14讲 与几何图形有关的探究题讲解.ppt

数学 第14讲　与几何图形有关的探究题 图形变化问题 【例1】　(2016·沈阳)在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE. (1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F. ①求证：△ABD是等边三角形； ②求证：BF⊥AD，AF＝DF； ③请直接写出BE的长； (2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值． 温馨提示：可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答． 【点评】　本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． [对应训练] 1．(导学号(2016·福州)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM. (1)当AN平分∠MAB时，求DM的长； (2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积； (3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值． 几何图形中的动点问题 (3)如图3，当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P1，P2之间运动，∴P1O＝P2O＝3，AO＝9，∴AP的最大值为12，AP的最小值为6 【点评】　本题主要考查了菱形的性质，锐角三角函数等知识，解本题的关键是分析点的运动情况作出辅助线． [对应训练] 2．(导学号(2016·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB＝90°且OA＝AB，OB，OC的长分别是一元二次方程x2－11x＋30＝0的两个根(OB＞OC)． (1)求点A和点B的坐标； (2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O，B重合)，过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m.已知t＝4时，直线l恰好过点C.当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式； (3)当m＝3.5时，请直接写出点P的坐标． 几何图形中的动线问题 【例3】　(2016·广东)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA，QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA，OP. (1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ (2)请判断OA，OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值． 【点评】　本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识，利用等腰直角三角形的性质求出OE的长是解题关键． [对应训练] 3．(导学号(2016·大连)如图1，△ABC中，∠C＝90°，线段DE在射线BC上，且DE＝AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF＝DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G.设BD＝x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示(其中0＜x≤1，1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同) (1)填空：BC的长是____； (2)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． 3 几何图形的探究与应用 解：(1)如图1，△ADC即为所求； 连接EG，作△EFG关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG＝90°，以O为圆心，以EO为半径作⊙O，则使∠EH′G＝45°的点H′在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′，GH′，则∠EH′G＝45°，此时，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的， 【点评】　本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、存在性等问题，正确地作出辅助线利用对称的性质解决问题是解题的关键． [对应训练] 4．(导学号(2016·扬州)已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC，DC的延长线交于点E，F，连接EF.设CE＝a，CF＝b. (1)如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a，b的值； (2)当△AEF是直角三角形时，求a，b的值； (3)如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a，b满足的关系式，并说明理由． 数学