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定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同． 推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似． 若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, …, ln ) 相似，则 从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A). 若j (l) = | A?lE |，那么 j (A) = O（零矩阵）. §4 对称矩阵的对角化 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理：设 l1, l2, …, lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, …, pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, …, lm 各不相同，则 p1, p2, …, pm 线性无关． （P.120定理2） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 可逆矩阵 P ，满足 P ?1AP = L （对角阵） AP = PL Api = li pi (i = 1, 2, …, n) A 的 特征值 对应的 特征向量 其中 ? (A?li E) pi = 0 矩阵 P 的 列向量组 线性无关 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理：设 l1, l2, …, lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, …, pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, …, lm 各不相同，则 p1, p2, …, pm 线性无关．（P.120定理2） 定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量．（P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．（P.118例6） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理：设 l1, l2, …, lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, …, pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, …, lm 各不相同，则 p1, p2, …, pm 线性无关．（P.120定理2） 定理：设 l1 和 l2 是对称阵 A 的特征值， p1, p2 是对应的特 征向量，如果 l1 ≠ l2 ，则 p1, p2 正交．（P.124定理6） 证明： A p1= l1 p1， A p2= l2 p2 ， l1 ≠ l2 l1 p1T = (l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A （A 是对称阵） l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l2 p2 ) = l2 p1T p2 (l1 ? l2) p1T p2 = 0 因为l1 ≠ l2 ，则 p1T p2 = 0，即 p1, p2 正交． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P ?1AP = PTAP = L， 其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.124定理7） 定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量． （P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化． Evaluation only. Created wit