直线-平面垂直的判定与性质080615.doc

直线、平面垂直的判定与性质080615 一、考题选析： 例1、（05北京春）如图，正三角形的边长为3，过其中心作边的平行线，分别交于、。将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段的中点。求：（1）二面角的大小；（2）异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）。 例2、（04重庆）设是的二面角内一点，分别为垂足，则的长为：（ ） A、 B C、 D、 例3、（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥中，底面是正方形， 侧面是正三角形，平面⊥底面。 （Ⅰ）证明⊥平面； （Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小。 方法一：（Ⅰ）证明： （Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AE，BE ∵VAD是正三角形 ∴AE⊥VD，AF=AD ∵AB⊥平面VAD ∴AB⊥AE 又由三垂线定理知BE⊥VD 因此，是所求二面角的平面角 于是， 即得所求二面角的大小为 方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。 （Ⅰ）证明：不妨设，则， 由，得 又，因而与平面内两条相交直线都垂直。 ∴平面 （Ⅱ）解：设为中点，则 由，得，又 因此，是所求二面角的平面角。 ∵ ∴解得所求二面角的大小为。 二、考题精练： （一）选择题： 1、（05天津）设、、为平面，为、、直线，则的一个充分条件是 A、 B、 C、 D、 （二）填空是： 2、（05山东）在平面几何里，有勾股定理：“设的两边互相垂直，则有，。”拓展到空间，类比平面几何的定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则 。 （三）解答题： 3、（07海南）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值。 证明： （Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而． 所以为直角三角形，． 又． 所以平面． （Ⅱ）解法一： 取中点，连结，由（Ⅰ）知，得． 为二面角的平面角． 由得平面． 所以，又， 故． 所以二面角的余弦值为． 解法二： 以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系． 设，则． 的中点，． ． 故等于二面角的平面角． ， 所以二面角的余弦值为． 4、（06山东）如图，已知平面平行于三棱锥的底面，等边所在的平面与底面垂直，且，设。 （1）求证直线是异面直线与的公垂线； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的大小。 解法1： （Ⅰ）证明：∵平面∥平面， 又∵平面⊥平面，平面∩平面， ∴⊥平面， ， 又，. 为与的公垂线. （Ⅱ）解法1：过A作于D， ∵△为正三角形， ∴D为的中点. ∵BC⊥平面 ∴， 又， ∴AD⊥平面， ∴线段AD的长即为点A到平面的距离. 在正△中，. ∴点A到平面的距离为. 解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=. 由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x， ， 即，解得. 即A到平面的距离为. 则 所以，到平面的距离为. (III)过点作于，连，由三重线定理知 是二面角的平面角。 在中， 。 。 所以，二面角的大小为arctan. 解法二： 取中点连,易知底面，过作直线交。 取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。 （I），， ， 。 又 由已知。 ， 而。 又显然相交， 是的公垂线。 （II）设平面的一个法向量， 又 由 取 得 点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。 ，设所求距离为。 则 所以，A到平面VBC的距离为. （III）设平面的一个法向量 由 取 二面角为锐角， 所以，二面角的大小为 5、（05广东）如图3所示，在四面体中，已知， ．是线段上一点，，点在线段上，且． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求二面角的大小． 【答案】 (Ⅰ)证明：在中， ∵ ∴ ∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形， 同理可证，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形， △PCB是以∠PCB为直角的直角三角形． 在中，∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ （II）解法一：由（I）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC ∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE ∴CE⊥平面PAB，而EF平面PAB， ∴EF⊥EC， 故∠FEB是二面角