矩阵代数简单的介绍.doc

线性代数复习 1.1 矩阵的概念 给定数域上个数把它们按一定次序排成一个行列的长方形数表 ， 称为数域上的一个行列的矩阵，简称为矩阵。其中称为矩阵的第行、第列的元素。矩阵（只有一行）称为维行向量；矩阵（只有一列）称为维列向量。 零矩阵、方阵、对角矩阵、单位阵 所有元素为零的矩阵称为零矩阵，记为。。 如果矩阵的行、列数都是，则称A为阶方阵； 阶方阵A的元素按次序构成的阶行列式，称为矩阵A的行列式，记为|A|。 在阶方阵中，若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵，记为；若对角矩阵的主对角线元素全为1，则称之为单位阵，记为；特别地，称为数量矩阵1.2 矩阵的运算 矩阵的加、减运算以及数乘运算 当矩阵A和B的行数和列数相等时，它们可以进行加、减运算；A＋B等于所有对应位置的元素相加、减。 数乘运算就是数乘矩阵A中所有元素得到的矩阵。 ，，，，，，，，，． 矩阵相乘 记，，，且，那么A和B相乘得到的矩阵C的元素可用公式表示为 ，。注意，在一般情况下矩阵乘法不满足交换律和消去律，即；不能推出。 矩阵相乘满足如下运算规则： ， ， ， ， ，， ，． 转置 把矩阵的行和列互换得到的矩阵称为A的转置矩阵，记为。 转置矩阵满足如下运算规则： ；； ；。 若，那么A称之为对称矩阵。 矩阵的逆 对于阶方阵A，存在阶方阵B，使得，那么A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记为。 方阵A可逆的充要条件是，此时A是非奇异矩阵。 若，A是奇异矩阵。 逆矩阵具有的性质： ；； 。 分块矩阵的运算（重点！） 在运算中，可以把子块当作数量元素处理；但矩阵的分块方式要与运算相配套。 记，，那么 ，， ， 其中，和都是非奇异的方阵。 特别地，设是阶方阵，是阶方阵，那么 ，，， ， ． 方阵的迹 方阵的迹定义为矩阵主对角线上元素之和，记为；对于矩阵A和矩阵B，有。若多个矩阵不同次序相乘都是方阵，那么有。 1.3线性组合、线性无关与矩阵的秩 线性组合 给定内一个向量组，又给定实数域R内s个数,,…,,称向量为向量组的一个线性组合。 线性组合通常可表示为：，其中是矩阵，是的向量。 线性相关与线性无关 给定一组维向量{}，如果存在一组不全为零的数,,..,，使得成立，则称线性相关，换句话说，向量组线性相关等价于组中至少有一个向量可以写成其他向量的线性组合。 {}是线性无关当且仅当推出。 矩阵的秩 矩阵的秩就是矩阵列向量组中极大线性无关组的向量个数，记为rank(A)。 它满足以下性质： 1） 2）对于矩阵A，； 3）若A是n阶方阵且秩为n，那么A是非奇异的，即|A|存在。 1.4 矩阵的特征与特征向量以及一个非零的n维列向量c，使得，那么就是A的特征根，c就是A的特征向量。 通过求解特征方程得到特征根，再计算其特征向量。 特征根和特征向量满足的性质： 1）所有特征根的和等于A的迹； 2）所有特征根的乘积等于A的行列式； 3）非零特征根的数目等于A的秩； 1.5 一些重要的矩阵 正交矩阵 对于维向量和，称以下运算为和的内积：。向量的长度定义为。若，则称为单位向量。若，则称向量、正交。 如果阶方阵满足，则称为正交矩阵。方阵为正交矩阵的充要条件就是的所有行（列）向量都是单位向量，而且两两正交。 对称矩阵 如果阶方阵满足，则称为对称矩阵。 幂等矩阵 若n阶方阵，那么M称为幂等矩阵。 幂等矩阵的性质： 1）幂等矩阵的特征根或者是1或者是0，所以它的秩等于它的迹；即rank（M）＝tr(M)； 2）M是半正定的。 例子（一个常用的幂等矩阵） 给定一个列向量以及元素全为1的维列向量，那么有： ；；； (用内积表示多元素相加) 令， 易证是对称幂等矩阵，因此；； ， 也就是说左乘矩阵能使Y中的原始数据转换成离差形式。 ；； ； ； 此外，，都是对称幂等矩阵，前者秩等于k，后者秩等于n－k。 1.6 二次型与正定矩阵 含有n个变量的二次齐次函数的一般形式是 ；并约定， 那么二次型可以表示为 ， 其中的n阶对称矩阵，是数量，是n维列向量。 正定矩阵、半正定矩阵 若对于任意的非零向量，都严格为正，那么A就称为正定矩阵；若对于任意的非零向量，都非负，那么A就称为非负定矩阵。 正定矩阵的性质： 1）实对称矩阵A是正定（半正定）的充要条件是A所有的特征根都是大于零（不小于零）的。 2）若A是正定，也是正定。 3）若A是正定，B是非奇异矩阵，那么是正定的。 4）若A是矩阵，那么和都是半正定矩阵；若A是矩阵，而且，那么是正定矩阵，因此也是非奇异的。 1.7 线性二次型的微分运算 假设一个多元函数，那么一个梯度向量为 ； 海赛矩阵（二阶偏导矩阵）为 通常涉及的一些运算： 1）当，那么。