矩阵分解研究及应用.docVIP

矩阵分解的研究及应用 摘要：将一矩阵分解为若干个矩阵的和或积，是解决某些线性问题的重要方法，其技巧性、实用性强。本文首先分成四部分内容来阐述矩阵分解的形式及一些很常见的分解。最后举例说明矩阵分解的应用。 关键词：特征值分解 秩分解 三角分解 和分解 关于矩阵分解的形式的文献已有很多，但对于这个问题的分析各不相同。本文从四个方面来论述矩阵的分解的形式，并以一些具体的例子来说明矩阵分解在实际应用中的重要性。 一、特征值分解 性质1：任意阶矩阵，存在酉矩阵，使得，其中为矩阵的特征值。称形如这样的分解叫做矩阵的特征值分解。 性质：任意阶矩阵，存在酉矩阵，使得，其中，且为矩阵的特征值。 对于对称矩阵有如下结论： 定理1.1：若为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得，其中为矩阵的特征值。 证明 由性质1,知 存在酉矩阵，使得 又由于为阶实对称矩阵，因此 从而，得 因此 得证。 定理1.2：矩阵为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵，使得。 证明 必要性 因为为正定矩阵，由定理1.1，得 存在可逆的正交矩阵，使得 ，且， 令，则 从而有 充分性 因为， 则 因此为对称矩阵。 又任意不为零的向量，有 令，又为非奇异矩阵， 从而知 因此 所以为正定矩阵。 得证。 定理1.3：设是阶实对称矩阵，则是正定矩阵的充分必要条件是存在正定矩阵，使得，为任意正整数。 证明 必要性 因为为正定矩阵，由定理1.1，得 存在可逆的正交矩阵，使得 ，且， 对任意的正整数，令，则有 必要性 由于为正定矩阵，因此对任意的非零向量，有。 又，则有 即为对称矩阵 且有 ①当为奇数时， 又为正定矩阵，因此，即有 ②当为偶数时， 又为正定矩阵，因此，即有 从而，知对任意不为零的向量，有。 因此是正定矩阵。 得证。 定理1.4：设为一个阶可逆矩阵，则存在一个正定矩阵和一个正交矩阵，使得或。 证明 由定理1.2，知 为正定矩阵 由定理1.3,得 存在正定矩阵，使得 令，则 从而有 因此为正交矩阵。 且又 同理可证的结论。 得证。 定理1.5：设是阶实对称矩阵，是的个单位正交特征向量，对应的特征值为。则。 证明 因为为阶实对称矩阵，由定理1.1,知 存在正交矩阵，使得 设，其中为的的第个行向量，则 ，于是有 因的行向量是的特征向量，且为正交矩阵，故为的单位正交特征向量。 得证。 定理1.5：为正定矩阵的充分必要条件是存在个线性无关的向量，使得。 证明 因为为正定矩阵，由定理1.2，知 存在可逆的矩阵，使得 令，又由于为可逆矩阵，因此线性无关。 又 得证。 定理1.6：秩为的阶实对称矩阵可表示成个秩为小于等于1的对称矩阵之和。其组合系数为的特征值。 证明 由定理1.1，知 存在正交矩阵，使得 令，且设的秩为，则不妨令 有 由于秩秩， 从而有 秩秩， 且 组合系数为的特征值。 得证。 二、矩阵的秩分解 性质2：任一矩阵，都存在可逆矩阵、，使得，其中为矩阵的秩。称形如这样的分解为矩阵的秩分解。 定理2.1：秩为的实矩阵都可分解成。 证明 由性质2，知 存在可逆矩阵、，使得 因此，得 得证。 定理2.2：秩为的实矩阵可分解成个秩为1的矩阵之和。 证明 由性质2，知 存在可逆矩阵、，使得 因此，得 而秩秩， 得证。 三、三角分解 性质3：设为阶实可逆矩阵，则可分解为，其中为正交矩阵，为一个对角线上全为正数的上三角形矩阵。称形如这样的分解为矩阵的三角分解。 定理3.1：实矩阵可以分解成一个正交矩阵和一个对角矩阵及一个正交矩阵的积。即，其中、为正交矩阵，为的秩且，，。 证明 由性质2，知 存在可逆矩阵、，使得 由性质3，对、作三角分解，使得，，其中、为正交矩阵，、为上三角矩阵，从而有 将、分块成与等价标准形能积的形式：、，、为阶方