第26讲平面向量数量积及应用.docVIP

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 老苗汤 老苗汤泡脚 老苗汤官网 高三新数学第一轮复习教案（讲座26）—平面向量的数量积及应用 一．课标要求： 1．平面向量的数量积①通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义②体会平面向量的数量积与向量投影的关系③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角说明：（1）当θ＝０时，与同向； （2）当θ＝π时，与反向； （3）当θ＝时，与垂直，记⊥； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0?≤?≤180? （2）数量积的概念 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。规定； 向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影； （3）数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积。 （4）向量数量积的性质 ①向量的模与平方的关系：。 ②乘法公式成立 ； ； ③平面向量数量积的运算律 交换律成立：； 对实数的结合律成立：； 分配律成立：。 ④向量的夹角：cos==。 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。 （5）两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量，则·=。 （6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。 两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，平面向量数量积的性质。 （7）平面内两点间的距离公式 设，则或。 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)。 2．向量的应用 （1）向量在几何中的应用； （2）向量在物理中的应用。 四．典例解析 题型1：数量积的概念 例1．判断下列各命题正确与否： （1）； （2）； （3）若，则； （4）若，则当且仅当时成立； （5）对任意向量都成立； （6）对任意向量，有。 解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。 点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零。 例2．（1）（2002上海春，13）若、、为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（ ） A． B． C．m（）=m+m D． （2）(2000江西、山西、天津理，4)设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①（·）－（·）= ②||－|||－| ③（·）－（·）不与垂直 ④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析：（1）答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向。 （2）答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立。故④真。 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。 题型2：向量的夹角 例3．（1）（06全国1文，1）已知向量、满足、，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． （2）（06北京文，12）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是 。 （3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。 （4）（2005北京3）| |=1，| |=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角为 （ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：（1）C；（2）； （3）由题意，，且与的夹角为， 所以，， ， ， 同理可得。 而， 设为与的夹角， 则。 （4）C；设所求两向量的夹角为 　　　 　　即： 所以 点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握。 例4．（1）（06全国1理，9）设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ） A．－++=