第2讲直线与平面平面与平面位置关系.docVIP

第2讲：直线与平面，平面与平面的位置关系 【知识整合】 直线与平面的位置关系： 直线与平面平行： 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（即线线平行，则线面平行） 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（即线面平行，则线线平行） 直线与平面垂直： 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（即线线垂直，则线面垂直） 直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线垂直于一个平面，那么这两条直线平行；②如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线（即线面垂直，则线线垂直） 平面的斜线及直线与平面所成的角： 过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角，范围是。 4. 三垂线定理：如果平面内的一条直线和一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直。 平面与平面的位置关系： 两平面平行： 两平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（即线面平行，则面面平行） 两平面平行的性质：①如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面（即面面平行，则线面平行）；②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。（即面面平行，则线线平行） 二面角的大小： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，范围是。 两平面垂直： 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（即线面垂直，则面面垂直） 两平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（即面面垂直，则线面垂直） 【典例精析】 空间四边形ABCD中，若，则与所成角为 。 如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角 C1—BD—C的大小为（ ） 已知空间四边形ABCD，P，Q分别是和的重心，求证 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各取一点P，Q，且，求证。 如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。证明 ⊥ 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形， 与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又. （１）求异面直线与所成角的余弦值； （２）设点M在棱上，且为何值时，平面。 在正方体中，Ｍ，Ｎ，Ｐ分别是的中点，求证： 在三棱锥中，是等腰三角形，，且，求点A到平面SBC的距离。 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，，E为AB的中点，且PA=AB。 求证 求点D到平面PCE的距离。 如图，在正三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，且。 求证， 求直线AD和平面所成角的正弦值。 【重点题型强化】 1. 如图，三棱柱中D是BC的中点，求证： 如图，在中，，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将折起，使A到的位置，M是的中点，求证 如图，，，，P，Q分别为AE，AB的中点，求证： 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面； 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60． （1）求四棱锥P－ABCD的体积； （2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，， 底面，且，分别为、的中点。 （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求与平面所成的角。 如图，为正三角形，，，且，Ｍ是ＡＥ的中点。求证： DE=AD （2） （3） 如图，在四棱锥中，，是等边三角形，已知 设M是PC上的一点，求证 求四棱锥的高。 如图，在长方体中，，M是棱的中点。 求异面直线和所成角的正切值； 求证。 正方形ABCD的边长为1，分别取边BC，CD的中点E，F，连结AE，EF，AF，以AE，EF，FA为折痕，折叠这个正方形，使点B，C，D重合