第3章节线性规划的对偶理论.docVIP

第三章 线性规划的对偶理论 内涵一致但从相反角度提出的一对问题互为对偶（Dual）问题。例如，我们可以问当四边形的周长一定时，什么形状的面积最大？答案当然是正方形；我们也可以这样来问，四边形的面积一定时，什么形状的周长最短？答案同样是正方形。对偶现象相当普遍，它广泛地存在于数学、物理学、经济学等诸多领域。 每一个线性规划问题都有和它相伴随的另一个问题，一个问题称为原问题，则另一个则称为其对偶问题。原问题与对偶问题有着非常密切的关系，以至于可以根据一个问题的最优解，得出另一个问题最优解的全部信息。然而，对偶性质远不仅是一种奇妙的对应关系，它在理论和实践上都有着广泛的应用。 §1对偶问题的提出 对偶理论是以对偶问题为基础的，研究对偶理论，首先必须讨论对偶问题的提出。对偶问题可以从经济学和数学两个角度来提出，本教材仅限于从经济学角度提出对偶问题。 [例3-1] 构造例2-1的对偶问题 我们已构造了例2-1追求最大利润的数学模型（见第6页），现在让我们从另外一个侧面来反映一下该问题。倘若工厂有意放弃甲、乙两种产品的生产，而将其所拥有的资源转让出去；假设有一厂商要购买该工厂的三种资源，那么对三种资源的报价问题将成为关注的焦点。设、和分别代表厂商对、、三种资源的报价，那么站在厂商的立场上，该问题的数学模型又将是什么样子的呢？首先分析一下厂商购买所付出的代价。自然，作为买方厂商当然是希望价格压得越低越好，因此厂商追求的应是付出代价的最小值，即： 然而，价格能否无限地压低呢？答案当然是否定的，因为最低报价必须以卖方能够接受为前提，否则报价再低也是没有意义的。落实到这一问题上就是必须保证企业让出资源的收益不低于自己生产创造的利润，即： + 4 2 2 +4 3 ，， 0 至此我们得到了一个完整的线性规划模型： + 4 2 2 +4 3 ，， 0 将站在厂商的立场上建立起来的数学模型同站在工厂立场上所建立的数学模型加以对比，可以发现它们的参数是一一对应的。也就是说，建立后一个模型并不需要在前一个模型的基础上增加任何补充信息。进一步讲，后一个线性规划问题是前一个线性规划问题从相反角度所作的阐述；如果前者称为线性规划的原问题，那么后者就称为其对偶问题。 以上从经济角度提出对偶问题，是通过一个生产两种产品、消耗三种资源的特定示例进行的，我们可以很自然地将其推广到生产种产品、消耗种资源的一般形式： 原问题 对偶问题 ?????? ?????? 从对偶问题的提出可知，对偶决策变量代表对第种资源的估价；这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中的贡献而给出的一种价值判断。为了将该价格与市场价格相区别，称其为影子价格（shadow price）。 §2对偶关系及对偶性质 2.1原问题与其对偶问题的对应关系 如果我们将目标函数求极大值、约束条件取小于等于号、决策变量非负的线性规划问题称为对称形式的原问题，上节对偶问题的提出已经揭示了对称形式的原问题与其对偶问题的对应关系；这些对应关系可概括为： 原问题目标函数求极大值，对偶问题目标函数求极小值； 原问题约束条件的数目等于对偶问题决策变量的数目； 原问题决策变量的数目等于对偶问题约束条件的数目； 原问题的价值系数成为对偶问题的资源系数； 原问题的资源系数成为对偶问题的价值系数； 原问题的技术系数矩阵与对偶问题的技术系数矩阵互为转置； 原问题约束条件为小于等于号，对偶问题约束条件为大于等于号； 原问题决策变量大于等于零，对偶问题决策变量大于等于零。 那么在非对称形式下，原问题与其对偶问题更一般的对应关系是怎样的呢？下面通过两个例子对此问题加以反映。 [例3-2] 给出此线性规划问题的对偶问题 23 23 解：首先将其转化成对称形式 将第二个不等式两边同乘“-1”，可得： 将第三个等式表示成等价的两个不等式，可得： 将两边同乘“-1”，可得： 于是此问题的对称形式为： 利用上述对称形式的原问题与其对偶问题的对应关系，可写出其对偶问题： 222 333 令，，有： ，，无约束 此