第41课向量工具使用.docVIP

第41课 向量工具的使用 ●考试目标 主词填空 1.图形的平移公式 图形的平移是在坐标架不动的背景下，对平面图形施行的一种变换.因平面图形是由“点”构成的，故将图形的平移，转换成点的平移，即:将某点按某向量平移至某处. 若点P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P′(x′,y′),则新旧坐标满足的关系式为. 2.向量作为一种工具，应用很广泛，尤其是对某些平面图形的定性论证及位置计算，在解析几何中，求曲线的轨迹方程等等，都有其独到的应用价值，并带来诸多的方便. 3.利用向量工具求曲线的轨迹方程，是一道独特的风景线，灵活运用向量的诸种性质，顺利完成点的坐标与向量坐标的对接，是一项必不可少的基本功. ●题型示例 点津归纳 【例1】 利用平移公式解答下列各题. (1)已知函数的图像按向量a=(1,-1)平移后的图像解析式为:y=2x2,求原来函数的解析式. (2)函数y=lg(3x-2)+1的图像按向量a平移后解析式为y=lg(3x),求向量a. 【解前点津】 (1)设P(x,y)为原函数图像上的任一意,P′(x′,y′)是P的对应点,因它满足y′=2x′2,故由平移公式可将x′,y′用x,y表示;(2)原理同(1). 【规范解答】 (1)设P(x,y)平移后变为P′(x′,y′),由平移公式，得:,将其代入y′= 2x2′得y-1=2(x+1)2即y=2x2+4x+3为所求解析式. (2)设P(x,y)是y=lg(3x-2)+1上的任意一点,按向量a=(h,k)平移后变为P′(x′,y′),且y′=lg3x′. 将代入y′=lg(3x′)得y+k=lg［3(x+h)］即y=lg(3x+3h)-k它与y=lg(3x-2)+1为同一函数.故3h=-2且-k=1h=-,k=-1,∴a=. 【解后归纳】 平移公式有三类运用:(1)已知平移前后的解析式，求平移向量; (2)已知平移向量及解析式，求平移后的解析式; (3)已知平移向量及平移后的解析式，求平移前的解析式. 无论是那一种情况，分清平移前后的解析式，确定平移向量，列出平移公式，严格“对号”入座是解题的三要素. 【例2】 将函数y=-x2进行平移，使得到的图像与函数y=x2-x-2的两交点关于原点对称，求平移后的图像的解析式. 【解前点津】 ①求平移后图像的解析式，只须求出平移向量，而通过平移公式和交点关于原点对称.(x1+x2=0,y1+y2=0)可求出平移向量. ②由于交点在y=x2-x-2上,且关于原点对称，故可先求出交点坐标，再用待定系数法求解. 【规范解答】 设平移向量a=(h,k),则 ∴代入y=x2得:y′-k=-(x′-h)2y′=-(x′-h)2+k. 设两个函数的图像的两个交点为(x1,y1),(x2,y2),则它们是方程组的两组解. 从方程组中消去y并依x聚项整理得:2x2-(1+2h)x-2+h2-k=0. ∵(x1,y1),(x2,y2)关于原点对称,故[，即. 又y1+y2=x+x-x1-x2-4=(x1+x2)2-(x1+x2)-2x1x2-4=-2x1x2-4=-2-4=0,∴k=. ∴a=(h,k)=. ∴所求解析式为:y-=-即:y=-x2-x+2. 【解后归纳】 本题综合使用了平移公式，待定系数法，根与系数的关系. 【例3】 设O是坐标原点,A(2,0),当点B在曲线y=-x2-2上运动时，求△OAB垂心的轨迹方程. 【解前点津】 设B(x1,y1),△OAB重心为H(x,y),由OA⊥BH知:·=0可得方程,同样由OH⊥AB得另一方程. 【规范解答】 设△OAB的垂心H的坐标是(x,y),B(x1,y1). ∵ ∴ 即: 故得方程组: 代入y1=-x-2得:,化之得:(x2+2)·y+2x-x2=0. 【解后归纳】 将几何图形中的垂直关系，转化为内积等式，使得运算方便，这正是运用向量知识的一个亮点. 【例4】 已知点A(2,-1),B(5,3),若直线l:kx-y+1=0与线段AB相交，求k的取值范围. 【解前点津】 因直线l:kx-y+1=0是表示过定点(0,1)的直线系,故可使用待定系数法及定比分点公式. 【规范解答】 设:P内分线段AB的比为λ,则有λ0,且点P， ∵点P在l上,∴k-+1=0,依λ聚项整理得:(5k-2)λ=-(2k+2)这是一个关于λ的条件等式. ∵P与B点不能重合,∴5k-2≠0从λ=-0,得-1k. 当直线l恰好过A(2,-1)或B(5,3)时,k=-1,或,∴-1≤k≤. 【解后归纳】 运用分点公式时，考虑λ的正负是关键所在. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.按向量a把点(2,-3)平移到(0,1),则按a把点(7,1)平移到点 ( ) A.