第7章节二阶电路总结.docVIP

第七章 二阶电路 用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。 重点： 电路微分方程的建立 特征根的重要意义 微分方程解的物理意义 难点： 电路微分的解及其物理意义 不同特征根的讨论计算 7.0 知识复习 二阶齐次微分方程的通解形式 ，其特征方程为：，特征根：。 当特征方程有不同的实根、时， 当特征方程有相同的实根时， 当特征方程有共轭的复根时， 欧拉公式 7.1 二阶电路的零输入响应 7.1.1 二阶电路中的能量振荡 在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。 设电容的初始电压为，电感的初始电流为零。在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。此时电流为零，电流的变化率不为零（，），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。 电容电压虽然为零，但其变化率不为零（，），电路中的电流从I0逐渐减小，电容在电流的作用下被充电（电压的极性与以前不同），当电感中的电流下降到零的瞬间，能量再度全部存储在电容中，电容电压又达到，只是极性与开始相反。 之后电容又开始放电，此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反，与刚才的过程相同，能量再次从电场能转化为电磁能，直到电容电压的大小与极性与初始情况一致，电路回到初始情况。 上述过程将不断重复，电路中的电压与电流也就形成周而复始的等幅振荡。 可以想象，当存在耗能元件时的情况。一种可能是电阻较小，电路仍然可以形成振荡，但由于能量在电场能与电磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗掉，所以形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到零；另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次转移时就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已经不可能在电场能与电磁能之间往返转移，电压、电流将直接衰减到零。 7.1.2 二阶电路的微分方程 二阶电路如下，其中电容电压的初始值为，电感电流的初始值为。 根据该电路列写电路方程为 其电路电流为： 因此：， 所以，电路方程为： 7.1.3 二阶电路微分方程的求解 方程的特征方程为。特征根为： 其中： 由特征根的性质（不等的实数、相等的实数或共轭的复数）就可以确定通解的具体形式。再据电路的初始条件即可得出通解中的待定系数。 7.1.4 二阶电路特征根的讨论 分别讨论特征根的情况。 过阻尼情况——非振荡放电过程 1．过阻尼的条件 当，即（）时，特征根、为不相等的负实数。 此时固有频率为不相等的负实数， 2．过阻尼时的响应 当特征根为不相等的实数时，方程的解的形式为 其中： 而，，且电路的初始条件，，有 而 ， 同时 ， 因此，初始条件为： ， 代入电路方程中，就可以解出其中的待定系数，得出 由此可见，和均为随着时间衰减的指数函数，电路的响应为非振荡响应。其中当电流的变化率为零的时刻时电流达到最大值。 而： 3．过阻尼时的响应曲线 临界阻尼情况 1．临界阻尼的条件 当，即（）时，特征根、为相等的负实数p；此时固有频率为相等的负实数， 2．临界阻尼时的响应 当方程的特征根相同时，，然后可以按照初值求取待定系数；也可以利用非振荡放电过程的解，令，取极限得出。 非振荡放电过程的解为：，令，取极限，根据罗必塔法则： 由此可见，和也为随着时间衰减的指数函数，仍然为非振荡响应。其中 3．临界阻尼时的响应曲线 临界阻尼时响应曲线的变化规律与过阻尼时的情况类似。 欠阻尼情况 1．欠阻尼的条件 当，即（）时，特征根、为一对共轭复数，其实部为负数。 2．欠阻尼时的响应 令，，则微分方程的特征根，。 如图所示，设与及之间存在三角关系 即 ， 则 ，。 根据欧拉公式： 可将特征根写为： ， 因此： 由此可见，和均为幅值随着时间按指数规律衰减的振荡函数，电路的响应为衰减振荡响应。 3．欠阻尼时的响应曲线 4．无阻尼的情况 无阻尼情况是欠阻尼的一种特殊情况。当时，，，，此时的响应为 由此可见，和均为正弦函数，其幅值不随时间衰减，电路的响应为等幅振荡响应，称为系统的固有频率，当二阶电路的激励为同频率的正弦函数时，称此时电路发生了谐振，其物理意义类似于机械系统的共振。 7.2 二阶电路的阶跃响应与冲激响应 7.