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第二节 相似矩阵
一．相似矩阵的概念
二．相似矩阵性质
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一．相似矩阵的概念
问题：
若有可逆矩阵P，使得P-1AP=D, 且Dm容易
设A是n阶方阵，如何求Am ?
求出，则
于是求Am 就比较容易计算了,
为了寻找较简单的
入下述概念。
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说明:
⑴ 反身性：对任意一个方阵A ，都有A~A，
⑵ 对称性：若A~B，则 B~A，
⑶ 传递性：若A~B，B~C，则A~C.
相似性为矩阵间的一种等价关系,即满足
设A 、B是两个n 阶方阵，如果存在一
个可逆矩阵P ，使得
则称矩阵A 与B是相似的，记作A~B.
定义:
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二．相似矩阵的性质
性质⒈ 若A~B，则 R（A）= R（B）.
证：
∵ A~B，
证：
∵ A~B，
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性质⒊ 若A~B，则A与B 或者都可逆，或者都
不可逆.并且当它们可逆时，有A-1 ~B-1.
证：
∵ A~B，
∴ A-1 ~B-1.
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若A~B，则 Am ~Bm , m 为正整数．
证：
∴ Am ~Bm .
性质4:
∵ A~B，
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若A~B ，则A 与B 有相同的特征多项
式和特征值(包括重数).
证：
∴ A 与B 有相同的特征多项式和特征值．
性质5:
∵ A~B，
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特征多项式相同的矩阵不一定相似．
如：
∴ A 与B 有相同的特征值，
但A 与B 不相似，因为A是 单位阵，
注：与单位阵相似的只能是单位阵．
注：
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性质6：
性质7：
若A~B ,则A、B有相同的迹.
则
若A~B ，B 是对角阵，
主对角元素是A的n 个特征值．
若B 换成上下三角阵，结论也成立．
则B的n 个
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设A~B ，且
求
∴ R(A-2E)=R(B-2E)=3.
例1
∵ A~B，
解：
即 A-2E ~ B-2E，而
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设A~B ，且A的特征值为
求
∴ A,B有相同的特征值,从而B的特征值是
例2
∵ A~B，
解：
B-1的特征值是2，3，4，5，
的特征值是1，2，3，4，则
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