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第五节 标准形 一．二次型的标准形 二．化二次型为标准形的方法 * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一．二次型的标准形 只含平方项的二次型，称为标准形. 如 标准形的矩阵是一个对角阵，且主对角 定义： 说明: 元素是其平方项的系数。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 数域P上任意一个二次型都可以经过 可逆线性替换化成标准形. 数域P上任意一个对称矩阵都合同于一 个对角阵． 定理： 推论： 问题：由定理可知，将一个二次型化为标准 形，关键是要找到可逆替换，如何找? 如果对称矩阵A合同于一个对角阵，则 称这个对角阵是A的合同标准形． 定义： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二．化二次型为标准形的方法 ⑴ 二次型 含有变量的平方项 例1 用配方法化二次型 为标准形，并求出可逆线性替换． (P193---例6.5.1) 1．配方法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解： 用配方法把变量x1, x2, x3 逐个配成完全平方 的形式： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 则有 所作的可逆替换是 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例2 用配方法化二次型 为标准形，并求出可逆替换． (P194---例6.5.2) 解： 为了能够配方, 首先要变成有平方项.为此令 ⑴ ⑵ 二次型不含变量的平方项 则 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (按例1的方法) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 则 ⑵ 为了写出所作可逆替换,先从⑵式解出 ⑶ 把⑶式带入⑴式得所作可逆替换: Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 设 设存在初等矩阵P1, P2, …, Pt, 使得 则 2．初等变换法 经过可逆替换 X=CY 化成标准形YTDY,其中D是对角阵. 则 初等矩阵有三种类型 P(j,i(k)), P(i,j), P(i(c)), Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 因此 即 它们的转置矩阵分别为 像这种初等行、列变换类型相同，称为成对初等行、列变换。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对于 即 同样地，对于 即 Evaluation only. Created with Aspose.Slide
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