华南农大高数第8章节相似矩阵与二次型2.pptVIP

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* * * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ●相似矩阵 设 A和B为 n 阶矩阵。如果存在n 阶可逆矩阵P, 使得 ,则称A相似于B,或说A和B相似 。 基本性质 (1)反身性 A相似于A。 (2) 对称性 A相似于B,则B相似于A。 (3) 传递性 A相似于B,B相似于C,则A相似于C。 定 义 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ●相似矩阵的性质 若A和B相似,则(1) (2) 证明(1) (2) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (3) (4) 证明 证明 (特征多项式相同) (有相等的迹) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 推论 如果n阶方阵A相似于对角形矩阵 则 是A的全部特征值。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ●一般方阵的对角化 定理 n 阶矩阵A能相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 充分性 设方阵A的n个线性无关的特征向量 对应的特征值分别为 ,则 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 必要性 设A相似于对角矩阵 即存在可逆矩阵B,使得 由B可逆便知: 都是非零向量,因而都是A的特征向量,且 线性无关。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 推论 如果n阶方阵A有n个不同的特征值 则方阵A相似于对角矩阵 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例 用相似变换化矩阵         为对角形 解 A的特征方程为 得特征值为 对于 可求得特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对于 可求得线性无关的特征向量 令   则  且   Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ●利用对角化计算矩阵的乘幂 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例 设

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