第五章节求矩阵特征值和特征向量.docVIP

第五章 求矩阵特征值与特征向量 阶方阵的个特征值就是其特征方程 的个根，方程属于特征值的特征向量是线性方程组 的非零解。本章讨论求方阵的特征值和特征向量的两个常用的数值方法。以及求实对称矩阵特征值的对分法。 5.1 幂 法 在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值，它决定了迭代矩阵是否收敛。本节先讨论求实方阵的按模最大特征根的常用迭代法：幂法。 5.1.1幂法的基本思想 幂法是求实方阵按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是：先任取非零初始向量，然后作迭代序列 ， （5。1） 再根据增大时，各分量的变化规律：按模最大的特征向量会愈来愈突出，从而可求出方阵的按模最大特征值及其特征向量。 先看一个计算实例。 例1 设矩阵 用特征方程容易求得的两个特征值为 ， 下面用幂法来计算，取初始向量，计算向量序列 ， 具体结果如表5.1所示. 表5.1 幂法计算结果 0 1 2 3 1 1 5 13 0 2 4 14 4 5 6 7 41 121 365 1093 40 122 364 1094 考察两个相邻向量对应分量之比： ,,,,， ,,,,, 由上面计算看出，两相邻向量对应分量之比值，随的增大而趋向于一个固定值3，而且这个值恰好就是矩阵的按模最大的特征值。这一现象是否有普通性？下面进行具体分析。 5.1.2 幂法的计算公式 为简便起见，设矩阵的几个特征值按模的大小排列如下： 其相应特征向量为，并且是线性无关的，因此可作为维向量空间的一组基。 任取初始向量，首先将表示为 作迭代序列 , 则 …… …… 于是 为了得出计算和的公式，下面分三种情况讨论。 1.为实根，且 当，充分大时，则有 所以 ， （5.2） 2. 为实根，且， 当不为0，充分大时，则有 于是得 所以 （5.3） 3． 当充分大时，则有 于是得 若令 得 （5.4） 式（5.4）是以为变量，以的几个分量为系数的矛盾方程组。 用最小二乘法解矛盾方程组（5.4），求出，然后再解一元二次方程 得到的两个根便是的近似值。 再由 可得 和 综上所述，可得 在实际应用幂法时，可根据迭代向量各分量的变化情况来判定属于哪种情况。 若迭代向各分量单调变化，且有关系式，则属于第1种情况;若迭代向量分量变化不单调，但有关系式，则属于第2种情况；若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式，则属于第3种情况。 5.1.3 幂法的实际计算公式 当时，若，则的分量会趋于无穷大；若，则的分量会趋于零。因此会使计算机出现上溢或下溢现象。为了防止溢出，可采用如下迭代公式 式（5.6）的更详细的带计算过程的计算公式为： 注：当时，按模最大特征值为正，故计算时取,当时，取。 由式（5.6）知 … … （5.8） 在式（5.8）两端同乘以，得 （5.9） 因为 将式（5.8）、（5.9）两端分别取范数后，代入上式得 所以 当时， （5.10） 因此当充分大时，就是按模最大的特征值的近似值。 利用式（5.9）可得 （5.11） 另一方面，有 （5.12） … … 将式（5.12）代入式（5.11），有 从而 （5.13） 这说明归一化向量序列收敛于按模最大的特征值所对应的特征向量。因此，当充分