第五课时任意角三角函数一.docVIP

第五课时 任意角的三角函数(一) 教学目标： 理解并掌握任意角三角函数的定义，理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号，理解三角函数是以实数为自变量的函数，掌握正弦、余弦、正切函数的定义域；使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解. 教学重点： 任意角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的定义域. 教学难点： 正弦、余弦、正切函数的定义域. 教学过程： Ⅰ.课题导入 在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数，前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数. Ⅱ.讲授新课 对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究. 设α是一个顶点在原点，始边在x轴正半轴上的任意角，α的终边上任意一点P的坐标是（x，y）(非顶点).它与原点的距离是r(r＝＞0） 注意：(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的正半轴重合. (2)OP是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的. (3)角α的终边只要不落在坐标轴上，就只能是象限角. (4)角α的终边不是不能落在坐标轴上，而是说落在坐标轴上的情况属于特殊情形，我们将在研究问题的过程中对其进行讨论. 那么，(1)比值 叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝ . (2)比值 叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝. (3)比值 叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝ . 以上三种函数统称为三角函数. 确定的角α，它的终边上任意一点P的坐标都是变量，它与原点的距离r也是变量，这三个变量的三个比值究竟是确定的还是变化的？ 根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α，上述三个比值都不会随P点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上时，即α＝kπ＋（k∈Z)时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tanα无意义，除此之外，对于确定的角α，上面的三个比值都是唯一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数. 注意：(1)sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余两个符号也是这样. (2)定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与α的终边位置无关. (3)比值只与角的大小有关. 我们已经给出了任意角三角函数的定义，请同学们考虑并比较一下，我们给出的任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义，有什么联系与区别? 正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离，正切函数值是纵坐标比横坐标. 由于角的集合与实数集R之间是一一对应的，所以三角函数可以看成是以实数为自变量的函数.我们知道，函数有三个要素，即定义域、值域、对应法则，下面我们就来研究正弦、余弦、正切函数的定义域，值域问题待后再作研究. 对于正弦函数sinα＝，因为r＞0，所以 恒有意义，即α取任意实数，恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα＝，因为x＝0时，无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠kπ＋（k∈Z). 为了几何表示的需要，我们先来看单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.单位长——如1 cm、1 dm、1m、1 km等等，都是1个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1个单位长.即单位圆的半径是1(个单位长). 在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），x轴的正半轴与单位圆相交于A（1，0），过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T. 显然，线段OM的长度为｜x｜，线段MP的长度为｜y｜，它们都只能取非负值. 当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段。 如果x＞0，OM与x轴同向，规定此时OM具有正值x；如果x＜0，OM与x轴正向相反(即反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x. 如果y＞0，把MP看作与y轴同向，规定此时MP具有正值y；如果y＜0，把MP看作与y轴反向，规定此时MP具有负值y，所以不论哪一种情况，都有MP＝y，由上面所述，OM、MP都是带有方向的线段