第六章不等式-推理与证明及不等式选讲选修45.doc

第六章　不等式、推理与证明及不等式选讲(选修4－5) 第一节不等关系与不等式 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b＞0ab；a－b＝0a＝b；a－b＜0ab. 2．不等式的基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 abba ? 传递性 ab，bcac ? 可加性 aba＋cb＋c 可乘性 acbc c的符号 acbc 同向可加性 a＋cb＋d 同向同正可乘性 acbd ? 可乘方性 ab0anbn(n∈N，n≥2) 同正 可开方性 ab0(n∈N，n≥2) 1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，bcac. 2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有abac2bc2；若无c≠0这个条件，abac2bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)． [] 1．(2013·北京高考)设a，b，cR，且ab，则(　　) A．acbc　　　　　　　　B. C．a2b2 D. a3b3 解析：选D　由性质知选D. 2.________＋1(填“”或“”)． 解析：＝＋1＜＋1. 答案： 1．不等式的倒数性质 (1)ab，ab0； (2)a0b； (3)ab0,0cd； (4)0axb或axb0. 2．不等式的分数性质 (1)真分数的性质： ；(b－m0)； (2)假分数的性质： ；(b－m0)． [] 若0ab，c0，则与的大小关系为________． 答案： 考点一比较两个数(式)的大小 1.已知a1，a2(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．MN　　　　　　　　　B．MN C．M＝N D．不确定 解析：选B　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 又a1∈(0,1)，a2(0,1)， a1－10，a2－10. (a1－1)(a2－1)0，即M－N0. MN. 2．若实数a≠1，比较a＋2与的大小． 解：a＋2－＝＝ 当a1时，a＋2； 当a1时，a＋2. [类题通法] 比较大小的常用方法 (1)作差法： 一般步骤是：作差；变形；定号；结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法： 一般步骤是：作商；变形；判断商与1的大小；结论． (3)特值法： 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断． 注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论． 考点二不等式的性质 [典例]　(1)(2014·太原诊断)“a＋cb＋d”是“ab且cd”的(　　) A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分必要条件 D．必要不充分条件 (2)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：ad＞bc；＋＜0；a－c＞b－d；a·(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　(1)由“a＋cb＋d”不能得知“ab且cd”，反过来，由“ab且cd”可得知“a＋cb＋d”，因此“a＋cb＋d”是“ab且cd”的必要不充分条件，选D. (2)法一：a＞0＞b，c＜d＜0，ad＜0，bc＞0， ad＜bc，故错误． a＞0＞b＞－a，a＞－b＞0， c＜d＜0，－c＞－d＞0， a(－c)＞(－b)(－d)， ac＋bd＜0，＋＝＜0， 故正确． c＜d，－c＞－d， a＞b，a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故正确． a＞b，d－c＞0，a(d－c)＞b(d－c)， 故正确，故选C. 法二：取特殊值． [答案]　(1)D　(2)C [类题通法] 判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考： (1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0； (2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等． [针对训练] (2014·北京东城区综合练习)若ab0，则下列不等式不成立的是(　　) A. B．|a||b| C．a＋b2 D.ab 解析：选C　ab0，，且|a||b|，a＋b2，又2a2b，ab，选C. 考点三不等式性质的应用 [典例]　已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围． [解]　f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b. f(－2)＝4a－2b. 设m(a＋