第十三章节动态程序设计方法.docVIP

第十三章动态程序设计方法 §13.1 问题的引出 在近几年的联赛中，动态程序设计方法作为一种解题工具，其应用范围愈来愈广，愈来愈受到选手的重视。为什么要学习动态程序设计方法？这个解题方法与其它算法究竟有什么区别？它有什么应用价值？我们先通过一个具体实例来回答这些问题。 【例题13.1】最短路径问题 下图给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路长度。 现在，我们想从城市a到达城市E。怎样走才能使得路径最短，最短路径的长度是多少？设 DiS［x］为城市x到城市E的最短路径长度（x表示任意一个城市）； map[i，ji，j两个城市间的距离，若map[i，j]=0，则两个城市不通； 我们可以使用回溯法来计算DiS［x］： var S：末访问的城市集合； function search(who)：integer； {求城市who与城市E的最短距离} begin if Who＝E Then Search←0 Else begin min←maxint； for i取遍所有城市Do if（map[Who，i]＞0）and（iS） then begin S←S－[i]； {城市i已访问} j←map[Who，i]+ search(i)； {计算城市E至城市Who的路径长度} S←S＋[i]； {恢复城市i未访问状态} if j＜min Then min←j； {若城市E至城市Who的路径长度为目前最短，则记下} End；{then} search←min； {返回城市E至城市的最短路径长度} End；{else} End；{search} begin S←除E外的所有城市； Dis[a]←search（a）； {计算城市a到城市E的最短路径长度} 输出Dis[a]； end．{main} 这个程序的效率如何呢？我们可以看到，每次除了已经访问过的城市外，其他城市都要访问，所以时间复杂度为O（n！），这是一个“指数级”的算法。那么，还有没有效率更高的解题方法呢？ 首先，我们来观察上述算法。在求b1到E的最短路径的时候，先求出从C2到E的最短路径；而在求从b2刭E的最短路径的时候，又求了一遍从C2刭E的最短路径。也就是说，从C2到E的最短路径求了两遍。同样可以发现，在求从Cl、C2刭E的最短路径的过程中，从Dl到E的最短路径也被求了两遍。而在整个程序中，从Dl到E的最短路径被求了四遍，这是多么大的一个浪费啊！如果在求解的过程中，同时将求得的最短路径的距离“记录在案”，以便将来随时调用，则可以避免这种重复计算。至此，一个新的思路产生了，即 由后往前依次推出每个Dis值，直到推出Dis「a」为止。 问题是，究竟什么是“由后往前”呢？所谓前后关系是指对于任意一对城市i和j来说，如果满足“或者城市i和城市j不连通或者dis[i]+map[i，j]dis[j]”的条件，则定义为城市i在前、城市j在后。因为如果城市i和城市j连通且Dis[i]＋map[i，j]Dis「j」，则说明城市j至城市E的最短路径长度应该比Dis[j]更优。可城市j位于城市i后不可能推出此情况，以至于影响最后的解。那么，我们应该如何划分先后次序呢？ 如上图所示，从城市a出发，按照与城市a的路径长度划分阶段。 阶段0包含的出发城市有{a} 阶段1所含的城市有{b1，b2} 阶段2包含的出发城市有{C1，C2，C3，C4} 阶段3包含的出发城市有{D1，D2，D3} 阶段4包含城市{E} 这种划分可以明确每个城市的次序，因为阶段的划分具有如下性质 ⑴阶段i的取值只与阶段i+1有关，阶段i+1的取值只对阶段i的取值产生影响： ⑵每个阶段的顺序是确定的，不可以调换任两个阶段的顺序； 我们从阶段4的城市E出发，按照阶段的顺序倒推至阶段0的城市a。在求解的各个阶段，利用了k阶段与k+1阶段之间的如下关系 dis[k][x]= dis[4][E]=0 k=4，3，0dis[k][x]指k阶段的城市x。由此得出程序 dis[E]←0； for k←3 downto 0 do for x取遍k阶段的所有城市do begin dis[x]←∞； for y取遍k+1阶段的所有城市do i