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第十二章 平稳随机过程 平稳随机过程是一类应用相当广泛的随机过程．本章在介绍平稳过程概念之后，着重在二阶矩过程的范围内讨论平稳过程的各态历经性、相关函数的性质以及功率谱密度函数和它的性质． §1 平稳随机过程的概念 在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响．有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化．严格地说，如果对于任意的和任意实数A，当时，n维随机变量 具有相同的分布函数，则称随机过程具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程． 平稳过程的参数集T，一般为 ．当定义在离散参数集上时，也称过程为平稳随机序列或平稳时间序列．以下若无特殊声明，均认为参数集． 在实际问题中，确定过程的分布函敷，并用它来判定其平稳性，一般是很难办到的．但是，对于一个被研究的随机过程，如果前后的环境和主要条件都不随时间的推移而变化，则一般就可以认为是平稳的． ．376． 恒温条件下的热噪声电压过程以及第十章§1例2、例3都是平稳过程的例子．强震阶段的地震波幅、船舶的颠簸过程、照明电网中电压的波动过程以及各种噪声和干扰等等在工程上都被认为是平稳的． 与平稳过程相反的是非平稳过程．一般，随机过程处于过渡阶段时总是非平稳的．例如，飞机控制在高度为丸的水平面上飞行，由于受到大气湍流的影响，实际飞行高度H（他）应在A水平面上下随机波动，H（他）可看作是平稳过程，但论及的时间范围必须排除飞机的升降阶段(过渡阶段)，因为在升降阶段内由于飞行的主要条件随时间而发生变化，因而H(t)的主要特征也随时间而变化着，也就是说在升降阶段内过程II(t)是非平稳的．不过在实际问题中，当仅仅考虑过程的平稳阶段时，为了数学处理的方便，我们通常把平稳阶段的时间范围取为一oo他+oo． 接着，考察平稳过程数字特征的特点． 设平稳过程X（他）的均值函数E[X(t)]存在．对n=1，在(1．1)式中，令h=-t1，由平稳性定义，一维随机变量X(t1)和X(0)同分布．于是E[X(t)]＝E[X(0)]，即均值函数必为常数，记为比．同样，X(t)的均方值函数和方差函数亦为常数，分别记为甲l和畦．据此，依照图10—4的意义，可以知道，平稳过程的所有样本曲线都在水平直线J(r)‘／J。上下波动，平均偏离度为dx． 又若平稳过程X(”的自相关函数存在，对n＝2，在(1．1)中，令A＝一九，由平稳性定义，二维随机变量同分布．于是，有 等式右端只与时间差‘。一J1有关，记为，即有 这表明：平稳过程的自相关函数仅是时间差‘：一r1’，的单变量函 ．377· 数(换句话说，它不随时间的推移而变化)． 又由第十章(2．7)式，协方差函数可以表示为 特别地，令，＝0，由上式，有 如前所述，要确定…个随机过程的分布函数，并进而判定其平稳性在实际中是不易办到的．因此，通常只在二阶矩过程范围内，考虑如下一类广义平稳过程． 定义 给定二阶矩过程，如果对任意t， 则称为宽平稳过程或广义平稳过程．相对地，前述按分布函数定义的平稳过程称为严平稳过程或狭义平稳过程． 由于宽平稳过程的定义只涉及与一维、二维分布有关的数字特征，所以一个严平稳过程只要二阶矩存在，则它必定也是宽平稳的．但反过来，一般是不成立的．不过有一个重要的例外情形，即正态过程．因为正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的，因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化，则概率密度也不随时间的推移而变化．由此一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳的． 今后，我们讲到平稳过程一词时，除特别指明以外，总是指宽平稳过程． 另外，当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，如果它们的互相关函数也只是时间差的单变量函数，记为，即 那末我们就称X(‘)和y(‘)是平稳相关的，或称这两个过程是联合(宽)平稳的 。378。 易见，在第十章中，§2例2、例3都是平稳过程，由于例3又是正态过程，所以它也是严平稳的．而§2例1以及§3·中的泊松过程和维纳过程都是非平稳过程．下面再举数例． 例1 设是互不相关的随机变量序列，且，则有 即相关函数只与是一／有关，所以它是宽平稳的随机序列．如果又是独立同分布的，则易证序列也是严平稳的． 口 例2 设s(t)是一周期为T的函数，是在(0,