等差-等比数列及其前n项和教师.docVIP

等差数列及其前n项和（教师版） 一、主要知识和方法 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 2.等差数列的有关概念： （1）等差数列的判断方法： ①定义法：常数（）为等差数列； ②中项公式法：（）为等差数列； ③通项公式法：（）为等差数列； ④前项求和法：（）为等差数列； （2）等差数列的通项：或。 （3）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 （4）等差数列的前和：，。 3.等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有 （2）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数常数项0. （3）若公差，则为递增等差数列，若公差，为递减等差数列，若公差，则为常数列。 （4）等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 （5）对于等差数列，当时,则有，特别地，当时，则有，也就是：，如图所示： （6）若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示： （7）设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质： 前n项的和；当n为偶数时，，其中d为公差； 当n为奇数时，则，，，， （其中是等差数列的中间一项）。 （8）若等差数列的前和分别为、，且，则. (9)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。 法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）； 法二：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。 (10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究. 二、典例分析： 【例1】已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n≥2),令bn=.求证：数列{bn}是等差数列. 证明：∵an+1-2=2-= ∴===+ ∴-=， ∴bn+1-bn=. ∴数列{bn}是等差数列. 【变式训练1】设两个数列{an},{bn}满足bn=，若{bn}为等差数列， 求证：{an}也为等差数列. 证明 由题意有 a1+2a2+3a3+…+nan=bn， ① 从而有a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=bn-1(n≥2), ② 由①-②，得nan=bn-bn-1, 整理得an=,其中d为{bn}的公差(n≥2). 从而an+1-an=-==(n≥2). 又a1=b1，a2= ∴a2-a1=-b1==.综上，an+1-an=d（n∈N*）. 所以{an}是等差数列. 【例2】在等差数列{an}中， （1）已知a15=33,a45=153,求a61;(2)已知a6=10,S5=5，求a8和S8； （3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d＞0,求a1. 解：（1）方法一：设首项为a1,公差为d,依条件得,解方程组得 ∴a61=-23+(61-1)×4=217. 方法二：由d=,得d===4,由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+16×4=217. （2）∵a6=10,S5=5,∴.解方程组得a1=-5,d=3,∴a8=a6+2d=10+2×3=16,S8=8×=44. (3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有： ,∴,∴.∵d＞0,∴d=2,a-d=2.∴首项为2.∴a1=2. 【变式训练2】设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列的前n项和,求Tn. 解：设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d, ∵S7=7,S15=75,∴,即,解得,∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1), ∵-=,∴数列是等差数列,其首项为-2,公差为,∴Tn=n2-n. 【例3】（1）等差数列中，，则＝____【答案:27】； （2）(06江西文) 在各项均不为零的等差数列中，若，则( ) 【答案:】 （3）（08湖北）已知函数,等差数列的公差为.若,则 . 【答案:-6】 （4）等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。【答案:225】 （5）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数. 【答案:5；31】. （6）设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么________