等边三角形具有轴对称性及旋转对称性.docVIP

等边三角形具有轴对称性和旋转对称性，四平八稳的图形却可以构造出千姿百态的图形，是三角形中最具魅力的图形。因为正三角形的一半是特殊的直角三角形，所以正三角形的问题又常常转化为直角三角形来解决。今撰斯文，欲展示正三角形的众多性质，你读罢定会感慨频频。 一、三垂线 例1? 如图O是正三角形ABC内任意一点，过O点作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，求证：OD+OE+OF等于正三角形的高。 证明：连结OA,OB,OC，设正三角形高为h，因为 所以， 因为AB=BC=CA， 所以OD+OE+OF=h. 例2? 如图O是正三角形ABC内任意一点，过O点作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，求证：AD+BE+CF=BD+CE+AF. 解法一 利用勾股定理，有,类似地还有其他2个等式，三个式子相加，化简得到： , 即 化简：，a是正三角形的边长。 解法二 如图，过O作MNBC，交AB、AC于点M、N，过M作MHBC交BC于点H, 则, 同理, . 又： 在这种辅助线下，还可以设DO=x，OE=y，OF=z， 于是正三角形的高是x+y+z，从而边长可以被表示，MD,MH,BM可以表示。 进而AD可以表示，这样表示BE,CF也不难了，AD+BE+CF就可以被x,y,z来表示。 可以肯定AD+BE+CF表示后的结果一定是周长的一半。 解法三 如图，延长EO、FO交边于G,H，过G,H作边的平行线GM,HN， 则. 例3? 如图O是正三角形ABC内任意一点，过O点作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，求证：。 解：过O作BC的平行线，将三角形分成上下两部分，如图，上部分相当于证明O在BC上时，黄色部分面积为正三角形面积的一半。证明如下： 设AB=2a，，设OF=x，则AD=， 则黄色面积= ==. 如图，对于下半部分的证明类似。故结论得证。 二、三交线 如图，在正三角形ABC的三边上依次取BD=CE=AF，连AD、BE、CF，交点是P、Q、R，这个图的内部有三条交线，里面形成一个正三角形，两个正三角形的面积之比取决于BD和DC之比。如果去掉一条交线，又会得到一个熟知的图形。 例4? 如上图及已知，当BD:DC=1:n时，求小正三角形与大正三角形面积的比。（自编题） 解：过D作DGCF，则可证， 进而， 又，， 所以， 在ABD中设BD=1，AB=n+1， ABD=60°，， ， ， 由两个正三角形相似得，小与大的面积之比是。 例5? 如上图，正三角形ABC中，BD=CE，BE、AD交于P写出这个图形尽量多的性质。（自编题） 解：有2对全等三角形；有6对相似三角形；APE=60°；、。 三、到三顶点的距离 例6? 如图，P在正三角形ABC内，P到三个顶点的距离分别是3、4、5，求ABC的面积（精确到0.01）。 解：如图，将APC绕A点顺时针旋转60°至AQB，设QB=PC=3，QP=AP=4，PB=5，易证APC=∠AQB=150°,如左图，作BHAQ，因BQH=30°，故BH=1.5，，由勾股定理可以求出AB，进而求出面积的近似值。 四、正三角形拼图 1、三角板拼图 例7? 如图1是由四块全等的含有30°角的直角三角板拼成的正方形，已知里面小正方形的边长为．如图2，取其中的三块直角三角板拼成等边三角形ABC，再以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（自编题）（1）求等边ABC的面积；（2）求BC边所在直线的解析式；（3）将第四块直角三角板与CDE重合，然后绕点E按逆时针方向旋转60°后得EC’D’ ，问点C’是否落在直线BC上？请你作出判断，并说明理由． 解略。 2、两个正三角形拼菱形 例8? 两个正三角形拼成一个菱形ABCD，（1）此菱形有哪些性质？（2）在BC、CD上各取一点E、F，使BE=CF，求证：AEF是正三角形。 解：（1）较长对角线是较短对角线的倍；过A点的高平分BC；有120°的内角。在菱形中只要满足这三条之一的，必满足其余。（2）略 3、三个正三角形拼梯形 例9? 如图，三个正三角形拼成等腰梯形，此梯形有哪些性质？（自编题） 解：有60°的底角；下底是腰的一半；周长是腰的5倍；对角线AC垂直腰BC；对角线平分60°的底角；上底等于腰。一个等腰梯形具有这6个结论中的任意2个，必同时满足其余的结论。 五、正三角形内的正方形 例10? 如图，正ABC中，BC=，在BC上取一点A1，作A1A2BC交BC于A2，在ABC内部作正方形A1A2 A3A4。过A3点作AB的垂线交AB于C4，在ABC内部作正方形C1C2 C3C4，其中C1在AB上，C2在AC上，并且所作的两个正方形边长相等。又过C3点作AC的垂线交AC于B4，交A3A4于B3，在ABC内部作正方形B1B2 B3B4，其中B1在AC