线代贴吧线性代数超强小结.docVIP

线性代数公式总结  √ 关于： ①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量； ②线性无关； ③； ④； ⑤任意一个维向量都可以用线性表示. √ 行列式的计算： ① 若都是方阵（不必同阶）则 ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积 ③关于副对角线：① ② ③ ④ ⑤ √ 方阵的幂的性质： √ 设，对阶矩阵规定：为的一个多项式设的列向量为的列向量为，的列向量为 √ 用对角矩阵左乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵右乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘与分块对角阵相乘类似即： 矩阵方程的解法：设法化成 当时 √ 和同解（列向量个数相同）则：① 它们的极大无关组相对应从而秩相等 ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性 ③ 它们有相同的内在线性关系判断是的基础解系的条件： ① 线性无关； ② 是的解； ③ 零向量是任何向量的线性组合零向量与任何同维实向量正交单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关部分相关整体必相关；整体无关部分必无关原向量组无关接长向量组无关；接长向量组相关原向量组相关两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关向量组中任一向量≤都是此向量组的线性组合向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由个线性表示向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个线性表示维列向量组线性相关； 维列向量组线性无关. . 若线性无关，而线性相关则可由线性表示且表示法一矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩且不改变列向量间的线性关系 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩且不改变行向量间的线性关系 向量组等价 和可以相互线性表示记作： 矩阵等价 经过有限次初等变换化为记作： 矩阵与等价作为向量组等价即：秩相等的向量组不一定等价 矩阵与作为向量组等价矩阵与等价向量组可由向量组线性表示. 向量组可由向量组线性表示且，则线性相关 向量组线性无关且可由线性表示则. 向量组可由向量组线性表示且则两向量组等价 任一向量组和它的极大无关组等价 向量组的任意两个极大无关组等价且这两个组所含向量的个数相等 若两个线性无关的向量组等价则它们包含的向量个数相等 若是矩阵则若，的行向量线性无关； 若，的列向量线性无关即： 线性无关线性方程组的矩阵式 向量式  矩阵转置的性质： 矩阵可逆的性质： 伴随矩阵的性质： 线性方程组解的性质： 设为矩阵若则从而一定有解 当时一定不是唯一解,则该向量组线性相关 是的上限矩阵的秩的性质： ① ② ③ ≤ ④ ⑤ ⑥≥ ⑦ ≤ ⑧ ⑨ ⑩ 且在矩阵乘法中有左消去律: 标准正交基 个维线性无关的向量两两正交每个向量长度为1 . 是单位向量 内积的性质 ① 正定性： ② 对称性： ③ 双线性： 施密特 线性无关 单位化： 正交矩阵 是正交矩阵的充要条件：的个行（列）向量构成的一组标准正交基正交矩阵的性质① ； ② ； ③ 是正交阵则（或）也是正交阵 ④ 两个正交阵之积仍是正交阵 ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1的特征矩阵 的特征多项式 的特征方程 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素若则为的的基础解系即为属于的线性无关的特征向量. √ √ 若,则一定可分解为=、,从而的特征值为：, . √ 若的全部特征值，是多项式,则: ① 的全部特征值为； ② 当可逆时,的全部特征值为,