第3-1不定积分的第二类换元、分部积分法讲解.ppt

第一节 一、第二类换元积分法 定理 . 设不定积分 例1. 求 例2. 求 例3. 求 例4. 求 总结：若被积函数含有 例6. 解1： 例7. 求 例7. 求 小结: 2. 常用基本积分公式的补充 (P205 ~ P206) 例. 求 例. 求 例 求 例. 求 思考与练习 备用题 1. 求下列积分: 二、分部积分法 分部积分公式： 例2. 求 例3. 求 例4. 求 解题技巧: 当被积函数为一个函数时，可以直接用分部积分公式求积分 例6.求 2、当被积函数由三个及以上函数的乘积组成时，则首先要通过适当的恒等变换，将其化成两个函数乘积的形式，再用分部积分公式求解 3.综合应用换元积分法和分部积分法 内容小结 作业 备用题. 2. 求 2. 补充：万能代换法 3. 求下列不定积分 (2) (3) (4) 例7.求 解: 原式= 例8.求 解: 原式I = 例9. 求 解: 令 则 原式 令 分部积分公式 1. 使用原则 : 易求出, 易积分 2. 使用经验 : “反对幂三指” , 前 u 后 3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 练习题3.1（P69）：3（25）-（28），4 解: 令 得 原式 1. 求 解: 令 则 ∴ 原式 令 于是 化为有理函数的积分 三角函数的有理式的积分 * 不定积分(之三) 一、第二类换元积分法 二、分部积分法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 若所求积分 (易求)， 难求， 作变量替换 代入原式中有 是单调可导函数 , 具有原函数 , 则有换元公式 作变量替换 且 解: 令 则 ∴ 原式 解: 原式= 公式1： (由公式1) 解: 令 则 ∴ 原式 解: 原式 公式2： (由公式2) 公式3：  令x=a sint 或 x=a cost 令x=a tant 或x=a cott 令x=a sect 或x=a csct 作变换后，化去根式. 根式代换法： 取根次数的最小公倍数 解: 原式 = 例7. 求 原式= 倒代法. 利用它常可消去被积函数的分母中的变量因子x 解2: 原式= 第一类换元法. 解3: 得 原式= 三角变换法. 1. 第二类换元法常见类型: 令 令 令 或 令 或 令 或 7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令 解: 原式 例21. 求 解: 解: 原式 = (P206 公式 (22) ) 例23. 求 解: 原式 (P206 公式 (22) ) 解: 令 得 原式 解: 原式 令 例16 1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ? 令 令 令 2. 求不定积分 解： 利用凑微分法 , 原式 = 令 得 分子分母同除以 3. 求不定积分 解: 令 原式 由导数公式 积分得: 分部积分公式 或 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 例1. 求 解: 令 ∴ 原式 （被积函数为乘积形式） 令 原式 复杂 解: 令 ∴原式 = 解: 令 ∴原式 = 解: 令 , 则 ∴ 原式= 再令 , 则 故 原式 = 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂三指” 的 顺序, 前者为 后者为 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 三: 三角函数 指: 指数函数 dv u 例5. 求 解: 原式= 解: 令 , 则 原式 = * * * *