第二章 一维随机变量及其分布讲解.ppt

一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 三、小结 第五节 随机变量的函数的分布 一、离散型随机变量的函数的分布 的集合上的函数, 问题 例1 解 注意 如果设 二、连续型随机变量的函数的分布 例2 其他. 解 其他 其他 其他 例3 解 故当 例如, 其概率密度为 定理 其概率密度为 其他, 证 存在, 可导. 有 其他. 此时有 其他. 合并以上两式,定理得证. 则只需假 此时, 例4 证 由此式解得 现在 即 即有 例5 解 且有反函数 其他， 其他， 不是单调函数. 注意 三、小结 1. 离散型随机变量的函数的分布 2. 连续型随机变量的函数的分布 方法1 方法2 注意条件. 几个常用的连续型分布 均匀分布 满足连续型随机变量的两个最基本性质 例2 指数分布 满足连续型随机变量的两个最基本性质 指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示 例3 解： 各元件的寿命是否超过1000小时是独立的，因此3个元件使用1000小时都未损坏的概率为 ，从而至少有一个已损坏的概率为　　 ． 正态分布 正态分布的概率密度函数 正态分布或高斯分布. 得到 于是 性质: 有 轴平移, 而不改变其形状, 可见正态分布的概率密 为位置参数. 称轴不变, 而形状在改变, 图形越高越瘦, 图形越矮越胖. 标准正态分布的图形 即有 易知 标准正态分布 正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布, 例如测 量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常 情况下生产的产品尺寸、 直径、 长度、 重量高度 等都近似服从正态分布. 高 尔 顿 钉 板 试 验 这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。 实例 年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。 从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。 正态分布的计算 原函数不是 初等函数 方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算 引理 证 得 则 由此知 标准正态分布的概率密度表示为 标准正态分布的图形 有 例8 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容 器内. 是一个随机变量, (2) 若要求保持液体的温度 解 (1) 所求概率为 即 亦即 故需 对于标准正态随机变量, 的定义. 例2 已知某类产品的次品率为0.2，现从一大批这类产品中随机地抽查20件，问恰好有k (k=0,1,2,…,20)件次品的概率是多少？ 解 这是不放回抽样．但由于这批产品的总数很大，且抽查的产品的数量相对于产品的总数来说又很小，因而可以当作放回抽样来处理．这样做会有一些误差，但误差不大.我们将检查一件产品是否为次品看成是一次试验，检查20件产品相当于做20重伯努利试验．以X记抽出的20件产品中次品的件数，那么X是一个随机变量，且X～b(20,0.2) 则所求的概率为 将计算结果列表如下： k k 0 1 2 3 4 5 0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 6 7 8 9 10 ≥11 0.109 0.055 0.022 0.007 0.002 0.001 作出上表的图形，如下图所示 （三）泊松分布 1.泊松分布