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线性代数课程简介 线性代数(Linear Algebra)简介 2、代数的基本定理 3.多项式方程的代数解问题 4、方程根与系数的关系 二.线性代数 1、求解线性方程组 例3求解下列线性方程组 例:总收入问题 例全球定位系统GPS 例:动画问题 §1 n阶行列式的定义的主要内容是: 行列式简介 一.2阶行列式和3阶行列式的定义 (二)三阶行列式的定义 (二)三阶行列式的定义 二.四阶行列式与n阶行列式的定义 二.四阶行列式与n阶行列式的定义 例: n阶行列式的一般项定义 1.余子式与代数余子式 n阶行列式按第1行展开的定义 例3计算n阶行列式 作业: 则二元线性方程组的解为 注意 分母都为原方程组的系数行列式. 例1 解 解三元一次方程组 由（1）（2）消x3,同理（1）（3）消x3得 由二元一次方程组可知:若系数行列式: 即: 那么: 三元线性方程组: 若系数行列式不等于零,有解: 定义 记 （1）式称为数表所确定的三阶行列式. (1)沙路法 三阶行列式的计算 .列标 行标 (2)对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 例 解 按对角线法则，有 不适用对角线定义. 1 +1 × 三阶行列式的沙路法和对角线法不适用四 阶行列式 求x4=? (1) (2) (3) (4) 由(2)+(3)得: 得: 10 3 观察2阶和3阶行列式: =? 三阶行列式: + 123 231 312 132 213 321 0个 2个 2个 偶排列 1个 1个 3个 奇排列 记: 为排列的逆序数总数. 规定 = 行列式的一般项定义. 补充说明:行列式的一般项定义中列标可按自 然顺序排列. 例如: 行列式的 一般项 简记 其中aij是行列式的元数. 例1　计算对角行列式 分析 展开式中一般项中的元素积: 所以 只能等于 , 同理可得 解 即行列式中不为零的项为 例如 3或2阶行列式的按第1行展开式归纳如下: 四阶行列式与n阶行列式按行展开式定义. 按照这一规律观察2阶: = 规定: 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 叫做元素 的代数余子式． 例如 的余子式和 代数余子式 的余子式和 代数余子式 一.教材与参考书 《线性代数》吴传生 王卫华编 《线性代数》清华大学出版社 居余马等编 教材选用： 参考教材： 线性代数是一门基础数学课程,其核心内容 是研究有限维线性空间的结构和线性变换.其理 论和方法有着广泛的应用. 行列式 矩阵 线性方程组 向量空间 矩阵的特征值 二次型 1.教材内容: 2.学习方法与要求; 预习+课堂学习+小组讨论 本期应完成:15次作业、6个报告、2次考试 加法与乘法被看成是代数系统中的一般运算。 一.代数: 是指由字母或符号来研究数及其结构的科学。 1.初等代数 代数的起源可以追溯至3000多年前的古埃及人和古巴比伦人。 初期的代数主要源于解方程. 我国古代的《九章算术》 中就有方程问题。 初等代数研究的对象: 代数式的运算和方程的求解。 整式、分式和根式是初等代数的三大类代数式。 四则运算，乘方和开方运算,通常称为初等代数的代数运算. 初等代数的十条规则: (1)五条基本运算律： 加法交换律、加法结合律、 乘法交换律、乘法结合律、分配律； (2)两条等式基本性质: 等式两边同时加上一个数，等式不变； 等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变； (3)三条指数律： 同底数幂相乘，底数不变指数相加； 指数的乘方等于底数不变指数相乘； 积的乘方等于乘方的积。 人们在解方程的研究过程中发现了 无理数、负数和复数， 从而使数的概念得到了扩充。 1799年高斯（Gauss）证明： 复数域上任意一个一元n次（n0）方程 任何一个一元n次方程在复数域上 有且仅有n个根（重根按重数计算） 至少有个根,这就是说,至少有个复数x满足这个 等式； 方程的代数解是指: 方程经过有限次代数运算得到的解。 例如： 的解. ， ， 阿贝尔（Abel）(1802～1829) 证明了五次方程不可能有代数解 韦达定理:设一元二次方程 在复数域上的两个根为 ,则有 一般地:设 在复数域上的n个根为 ,则有 … 2.高等代数 1832年法国数学家伽罗瓦运用“群”的思想彻 底解决了用根式求解代数方程的可能性,由此 代数转变成为研究代数运算结构的科学. “线性”的含义是指