最优化方法02讲解.ppt

我们感兴趣的是至少有一个交点（ ≥0）的情形。 此时用平面L截曲面S得到一个圆，将它投影到 平面上，仍为同样大小的圆。在这个圆上每一点的目标 函数值均为 , 若一条曲线上任何一点的目标函数值等于同一常数，则称此曲线为目标函数的等值线。 易见，变动 f 的值，得到不同等值线，这是一组同心圆 ，对应 f=0的等值线缩为一点G，对应 f 0 的等值线为空集。 易见，随着 f 值变小，等值线圆半径变小，最后缩为一点，即为问题的最小值点G， = 例2 用图解法求解 =2 =1 0 解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。 由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得该切点为 = ， 对应的最优值为 =2 (图一） 以及等值线与可行集的切点，易见可行域为曲线段ABCD。当动点沿抛物曲线段ABCD由A点出发时，AB段目标函数值下降。过点B后，在BC段目标函数值上升。过C点后，在CD段目标函数值再次下降。D点是使目标函数值最小的可行点，其坐标可通过解方程组： 得出 = ， =4 由以上三个例子可见，对二维最优化问题。我们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平面上作图，此法失效。 在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数值的是 {Z| f(Z)=r,r是常数}称为目标函数的等值面。 等值面具有以下性质： （1）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函数。 （2）除了极值点所在的等值面外，不会在区域内部中断，因为目标函数是连续的。 (3）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，而稀疏的地方变化得比较慢。 （4）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。 * * =4 =9 =1 0 s s L 在 平面上任给一点 ，就对应有一个目标函数值 = 这个值就是过 点作 平面的垂线与S曲面交点的纵坐标。 反之，任给一个值 ,使目标函数 取值为 的点z的 个数就不相同了。可能没有，可能只有一个，可能有多个。 这一事实的几何意义是：过 f 轴上坐标为 的点作 坐标平面的平行平面L，可能与曲面S无交点（ 〈0 时），可能与S有一个交点（ =0 时），可能与S交成一条曲线（ 〉0 ）。 例3：用图解法求解 =