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1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 请注意 平面向量的坐标运算承前启后,不仅使向量的加法、减法和实数与向量的积完全代数化,也是学习向量数量积的基础,因此是平面向量中的重要内容之一,也是高考中命题的热点内容.在这里,充分体现了转化和数形结合的思想. 1.平面向量的基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2. 2.平面向量的坐标表示 在直角坐标系内,分别取与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对任一向量a,有唯一一对实数x,y,使得:a=xi+yj,(x,y)叫做向量a的直角坐标,记作a=(x,y),显然i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 3.平面向量的坐标运算 (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a+b=(x1+x2,y1+y2), a-b=(x1-x2,y1-y2), λa=(λx1,λy1). 4.向量平行与垂直的条件 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a∥b?x1y2-x2y1=0. (2)a,b均不为0时,a⊥b?x1x2+y1y2=0. 答案 B 解析 根据平面向量基底的定义知,两个向量不共线即可作为基底.故选B. 4.已知?ABCD的顶点A(2,1),B(3,2),C(4,-1),则顶点D的坐标为________. 答案 (3,-2) 5.(2014·北京理)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=________. 探究1 注意转化思想在本题中的应用,通过本题可以发现,只要是平面内不共线的两个向量都可以作为基底. 【解析】 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). 探究2 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 【解析】 设a=(x,y),x0,y0,则x-2y=0且x2+y2=20,解得x=4,y=2(舍去),或者x=-4,y=-2,即 a=(-4,-2). 【答案】 (-4,-2) 例3 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题: (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k; (2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d. 探究3 两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用,一般地,如果已知两个向量共线,求某些参数的值,那么利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是:x1y2-x2y1=0”比较简捷. (1)若a=(1,2),b=(-3,0),(2a+b)∥(a-mb),则m=________. 【解析】 ∵a=(1,2),b=(-3,0), ∴2a+b=(-1,4),a-mb=(1+3m,2). 又∵(2a+b)∥(a-mb), 1.(2014·福建理)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 答案 B 思考题3 答案 D 答案 4 高考调研 第*页 新课标版 · 数学(文) · 高三总复习 第五章 平面向量与复数 第五章 平面向量与复数 第2课时 平面向量基本定理及坐标运算 不共线 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× 答案 B 题型一 平面向量基本定理的应用 【答案】 x=-2,y=1 思考题1 【答案】 B 题型二 向量坐标的基本运算 思考题2 【答案】 (-3,-5) 题型三 平面向量平行的坐标表示 * * 高考调研 第*页 新课标版 · 数学(文) · 高三总复习 第五章 平面向量与复数
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