【步步高】(全国通用)2016版高考数学考前三个月复习冲刺专题3第7练抓重点-函数性质与分段函数理研讨.doc

第7练　抓重点——函数性质与分段函数 [题型分析·高考展望]　函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型.主要以选择题或填空题的形式考查，难度为中档偏上.二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力. 常考题型精析 题型一　函数单调性、奇偶性的应用 1.常用结论：设x1、x2∈[a，b]，则(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]00?f(x)在[a，b]上递增. (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]00?f(x)在[a，b]上递减. 2.若f(x)和g(x)都是增函数，则f(x)＋g(x)也是增函数，－f(x)是减函数，复合函数的单调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断. 3.定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数. 4.奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数. 例1　(1)(2014·湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为(　　) A.[－，] B.[－，] C.[－，] D.[－，] (2)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)0，则x的取值范围是________. 点评　(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x). (2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性. 变式训练1　(1)(2015·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|xm|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.a＜c＜b D.c＜b＜a (2)(2015·北京)下列函数中为偶函数的是(　　) A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x C.y＝|ln x| D.y＝2x 题型二　函数的周期性与对称性的应用 重要结论：1.若对于定义域内的任意x，都有f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)关于x＝a对称. 2.若对于任意x都有f(x＋T)＝f(x)，则f(x)的周期为T. 例2　(1)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[－1,0)时，f(x)＝－x，则f(2 015)＋f(2 016)＝________. (2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x).当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＝________. 点评　利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解. 变式训练2　已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题： ①f(2)＝0；②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8. 则所有正确命题的序号为________. 题型三　分段函数 例3　已知函数f(x)＝是奇函数. (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 　 　 　 点评　(1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. (2)在求分段函数f(x)解析式时，一定要首先判断x属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式. 变式训练3　(2014·浙江)设函数f(x)＝ 若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________. 高考题型精练 1.(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　) A.y＝ln x B.y＝x2＋1 C.y＝sin x D.y＝cos x 2.(2015·陕西)设f(x)＝则f(f(－2))等于(　　) A.－1 B. C. D. 3.(2014·山东)函数f(x)＝的定义域为(　　) A. B.(2，＋∞) C.∪(