角平分线的性质与判定范例.pptx

12.3角平分线的性质 福田河中学 八年级数学组 夏玉焰 ★ 什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？ C 如图，AB＝AD，BC＝DC，沿着AC画一条射线AE，AE就是∠BAC的角平分线，　你知道为什么吗？ 如何用尺规作角的平分线？ A Ｂ 作法： 　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于． ３．作射线OC． 则射线ＯＣ即为所求． 探索1 将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论? O A B 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 在∠AOB的平分线OC上任取一点P，然后，作点P到∠AOB两边的垂线段PD、PE，画一画，量一量，从中你有什么新发现？你能说明其中的道理吗？ 命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE. 角平分线的性质 定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为： ∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE. 1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ ∴PD=PE PD⊥OA，PE⊥OB 2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。 3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ ⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，　　　　　　求BE，AE的长和△AED的周长。 练一练 3在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。 E D C B A 4.△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ （点D到AB的距离是3） 如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？ 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。 解：设要截取的长度为Ｘm,则： 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺 1：20 000） 解得：Ｘ＝0.025m ＝2.5cm Ａ 则点Ａ即为所求的点 到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 证明： 作射线OP 在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中， （ HL） （全等三角形的对应角相等） OP = OP （公共边） PD = PE （ 已 知 ） 角平分线的判定 角平分线的判定的应用书写格式： PD= PE \ （到一个角的 两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上） ∵ 角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。 PD = PE 用途：证线段相等 用途：判定一条射线是角平分线 例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。 4.已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ . 求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要求不用三角形全等的判定） B 5已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F，BE、CF相交于D， BD=CD 。 求证： AD平分∠BAC 。 课堂练习 例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知） ∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、CA的距离相等 D E F 练习：如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？ 拓展与延伸 1、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证