第十五章量子力学基础素材.ppt

§15-4 氢原子的玻尔理论 五、定态薛定谔方程 粒子在稳定势场中运动，势函数U 不显含时间，能量E 不随时间变化，则粒子处于定态， 定态波函数写为： 将其代入薛定谔方程中，可得： 分离变量，可得： 时间部分： 空间部分： 定态薛定谔方程 完整定态波函数表达式为： 微观粒子在空间各处出现的概率不随时间变化的，只是位置的函数。因此称为定态 在定态中，能量与动量皆为常数 一维定态薛定谔方程 六、一维无限深势阱中的粒子 0 0 x a 0 a x 因势函数U(x)不显含时间，因此可用定态薛定谔方程求解 当x 0，x a 时（阱外） 说明粒子不可能会出现在阱外 (阱内)当 0 x a 时 其中 则通解为 标准化条件波函数的连续性可得 在边界处 一维无限深势阱中运动的微观粒的能量只能取分立值。 利用归一化条件，可得： 考虑时间因子 （ 0 x a ） 确定能量的本证波函数 n = 1 n = 2 n = 3 0 x 0 x 讨论：一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度 经典力学与量子力学的不同 ① 能量的取值不同 ② 粒子的分部不同 0 x 一维无限深势阱粒子的驻波特征 驻波条件 德布罗意波 0 x n = 1 n = 2 n = 3 零点处： 最大值处：找到粒子概率最大处 例15-13 设质量为m 的微观粒子处在宽为a 的一维无限深方势阱中, 求 (1) 粒子在 0 x a/4 区间中出现的概率, 并对n = 1 和n =? 的情况算出概率值。(2) 在那些量子态上, a/4 处的概率密度 最大? 解 (1) 概率密度 粒子在 0 x a/4 区间中出现的概率 （2） 极大值对应 n = 2，6，10，··· 等量子态。 a/4 处的概率密度 U0 势垒 1 2 3 经典理论 1.E U0的粒子， 越过势垒。 2.E U0的粒子， 不能越过势垒。 量子理论 1.E U0 的粒子，也存在被弹回的概率 —— 反射波 2.E U0 的粒子，也可能越过势垒到达3区 —— 隧道效应 o a 七、势垒 隧道效应 势能函数 U ( x ) = 0 　x ≥ a （Ⅲ区） U ( x ) = 0 x ≤ 0 （Ⅰ区 ） U ( x ) = U0 0≤ x ≤ a （Ⅱ区） （Ⅲ区） （Ⅰ区） （Ⅱ区） 波函数 0 a x U0 Ⅰ Ⅱ Ⅲ E U U0 Ⅰ Ⅱ Ⅲ E 0 a 可求出透射系数为 利用波函数在边界处连续（包括导数）特点，可求解式中各系数之间关系 可见，粒子的贯穿系数与势垒的宽度及高度有关 + r 一、氢原子的定态薛定谔方程 电子的势能函数： 利用球坐标 氢原子问题 §15.8 氢原子的量子理论简介 薛定谔方程： 球坐标的定态薛定谔方程 采用分离变量法将方程分解为分别与变量 r、?、?有关的三个常微分方程 将波函数写成 求解方程时，直接可以得到氢原子的量子化条件 二、量子数和量子化条件 1.主量子数: n 1） 能量是量子化的 2） 当 时，En? 连续值 主量子数 n 决定能量 2.角量子数: l 电子绕核运动的轨道角动量必须满足量子化条件： 角量子数 比较此结果与玻尔理论的结果的不同 决定角动量的大小 1）量子力学的结果 L 不是 h 的整数倍，而玻尔的氢原子理论的结果却是整数倍。 1）量子力学的 L 最小值可为零，而玻尔的氢原子理论却不能。 3.磁量子数：ml 电子绕核运动的轨道角动量 L 的方向在空间的取向是量子化的，角动量L 在外磁场方向的投影LZ必须满足量子化条件： 磁量子数 说明角动量L在空间有2l + 1个不同取向 轨道角动量的空间取向 B(z) m = 0 m = -1 m = -2 m = 1 m = 2 例： 三、氢原子中的电子的概率分布 电子云：电子概率分布的一种形象化描述 无磁场 有磁场 N S 一、斯特恩—革拉赫实验 （O.Stern — W.Gerlac