大学物理平面简谐波波动方程研讨.doc

§4-2平面简谐波的波动方程 振动与波动 最简单而又最基本的波动是简谐波！ 简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。 对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。需要定量地描述出每个质点的振动状态。 波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。 一、平面简谐波的波动方程 设平面简谐波在介质中沿 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点 参考点原点的振动方程为 任取一点 ，其坐标为 ， 点如何振动？ 和 与原点的振动相同，相位呢？ 沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 的距离，相位落后 现在，点的振动要传到 点，需要向前传播的距离为 ，因而 点的相位比 点落后 点的振动方程为 由于 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉 就是沿 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。 如果波沿 轴的负向传播， 点的相位将比 点的振动相位超前 沿 轴负向传播的波动方程为 利用 ， 沿 轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为 即 原点的振动状态传到 点所需要的时间 点在 时刻重复原点在 时刻的振动状态 波动方程也常写为 其中 波数，物理意义为 长度内所具有完整波的数目。 ☆ 波动方程的三个要素：参考点，参考点振动方程，传播方向 二、波动方程的物理意义 1、固定，如令 振动方程 处质点的振动方程 处的振动曲线 该质点在 和 两时刻的相位差 2、固定，如令 波形方程 时刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，即 时刻的波形方程。 波形曲线 3、 和 都在变化 各个不同质点在不同时刻的位移，各个质点的振动情况，不同时刻的波形，反映了波形不断向前推进的波动传播的全过程 行波 时刻， 处的某个振动状态经过 的时间，传播了 的距离，传到了 处，显然 行波必须满足此方程 其中 波是振动状态的传播！ 习题类型 （1） 由某质元的振动方程（或振动曲线） 求波动方程 （2） 由某时刻的波形曲线 求波动方程 例4.2：一平面波在介质中以速度 m/s沿直线传播，已知在传播路径上某点A的振动方程为 ，如图4.8所示。 （1）若以A点为坐标原点，写出波动方程，并求出C，D两点的振动方程； （2）若以B点为坐标原点，写出波动方程，并求出C，D两点的振动方程。 解：（1）振幅 m，圆频率rad/s，频率 Hz， 波长 m 波动方程为 m C点坐标为 m，振动方程为 m D点坐标为 m，振动方程为 m （2）A点坐标为 m，波动方程为 m C点坐标为 m，振动方程为 m D点坐标为 m，振动方程为 m 例4.3：一平面简谐横波以 m/s的波速在均匀介质中沿方向传播。位于坐标原点的质点的振动周期为0.01秒，振幅为0.1m，取原点处质点经过平衡位置且向正方向运动时作为计时起点。 （1）写出波动方程； （2）写出距原点2m处的质点P的振动方程； （3）画出秒和0.007秒时的波形图； （4）若以距原点2m处为坐标原点，写出波动方程。 解：（1）由题意 m，秒，m/s 可得圆频率 rad/s， 波长 m 由旋转矢量图知，原点处质点的初相位 故原点处质点的运动方程为 m 波动方程为 m （2） m处质点的振动方程为 m （3）秒时，波形方程为 因为 ，故由时刻的波形向+x方向平